Google
Câu hỏi: Cho số thực m và hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình $f\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)=m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -1;2 \right]$ ?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
B. 3
C. 4
D. 5
Xét $g\left( x \right)={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}$ với $x\in \left[ -1;2 \right]$
${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-\dfrac{{{2}^{x}}.\ln 2}{{{4}^{x}}}=\ln 2\left( {{2}^{x}}-\dfrac{1}{{{2}^{x}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{4}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$
$g\left( 0 \right)=2,g\left( -1 \right)=\dfrac{5}{2},g\left( 2 \right)=\dfrac{17}{4}$. Vậy $2\le {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}\le \dfrac{17}{4}$
Với ${{t}_{0}}\in \left\{ 2 \right\}\cup \left( \dfrac{5}{2};\dfrac{17}{4} \right]$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}={{t}_{0}}$ có một nghiệm.
Với ${{t}_{0}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}={{t}_{0}}$ có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán trở thành: Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 2;\dfrac{17}{4} \right]$ với $t={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, ta có:$$
- Nếu $m=f\left( 3 \right)$ thì $f\left( t \right)=f\left( 3 \right)\Leftrightarrow t=3$ : Phương trình đã cho có một nghiệm.
- Nếu $f\left( 3 \right)<m<0$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t={{t}_{1}} \\
& t={{t}_{2}} \\
\end{align} \right. $ với $ \frac{5}{2}<{{t}_{1}}<3,{{t}_{2}}>3$ suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm.
- Nếu $0\le m\le f\left( \frac{17}{4} \right)$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t={{t}_{4}} \\
& t={{t}_{5}} \\
\end{align} \right. $ với $ 2<{{t}_{4}}\le \frac{5}{2},3<{{t}_{5}}\le \frac{17}{4}$ suy ra phương trình đã cho có tối đa ba nghiệm.
- Nếu $f\left( \frac{17}{4} \right)<m\le f(2)$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow t={{t}_{3}}$ với $2\le {{t}_{3}}<\frac{5}{2}$ suy ra phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm.
Vậy phương trình trên có tối đa 3 nghiệm phân biệt.
${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-\dfrac{{{2}^{x}}.\ln 2}{{{4}^{x}}}=\ln 2\left( {{2}^{x}}-\dfrac{1}{{{2}^{x}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{4}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$
Với ${{t}_{0}}\in \left\{ 2 \right\}\cup \left( \dfrac{5}{2};\dfrac{17}{4} \right]$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}={{t}_{0}}$ có một nghiệm.
Với ${{t}_{0}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}={{t}_{0}}$ có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán trở thành: Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 2;\dfrac{17}{4} \right]$ với $t={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, ta có:$$
- Nếu $m=f\left( 3 \right)$ thì $f\left( t \right)=f\left( 3 \right)\Leftrightarrow t=3$ : Phương trình đã cho có một nghiệm.
- Nếu $f\left( 3 \right)<m<0$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t={{t}_{1}} \\
& t={{t}_{2}} \\
\end{align} \right. $ với $ \frac{5}{2}<{{t}_{1}}<3,{{t}_{2}}>3$ suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm.
- Nếu $0\le m\le f\left( \frac{17}{4} \right)$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t={{t}_{4}} \\
& t={{t}_{5}} \\
\end{align} \right. $ với $ 2<{{t}_{4}}\le \frac{5}{2},3<{{t}_{5}}\le \frac{17}{4}$ suy ra phương trình đã cho có tối đa ba nghiệm.
- Nếu $f\left( \frac{17}{4} \right)<m\le f(2)$ thì $f\left( t \right)=m\Leftrightarrow t={{t}_{3}}$ với $2\le {{t}_{3}}<\frac{5}{2}$ suy ra phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm.
Vậy phương trình trên có tối đa 3 nghiệm phân biệt.
Đáp án B.