Google
Câu hỏi: Cho số thực m và hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)=m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -1;2 \right]$ ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Đặt $t={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}\Rightarrow {t}'={{2}^{x}}\ln 2-{{2}^{-x}}\ln 2=0\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{-x}}\Rightarrow x=0$
Mặt khác $t\left( -1 \right)=\dfrac{5}{2}$, $t\left( 0 \right)=2$, $t\left( 2 \right)=\dfrac{17}{4}$.
Từ bảng biến thiên ta có nhận xét:
Với $\left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& \dfrac{5}{2}<t<\dfrac{17}{4} \\
\end{aligned} \right. $ thì 1 giá trị của t có một giá trị của x, với $ t\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]\Rightarrow $1 giá trị của t có 2 giá trị của x.
Với $t\in \left( 2;\dfrac{17}{4} \right]\Rightarrow $ Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nhiều nhất 2 nghiệm.
Khi đó phương trình đã cho có nhiều nhất 3 nghiệm khi phương trình $f\left( t \right)=m$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]$ và 1 nghiệm ${{t}_{2}}\in \left( \dfrac{5}{2};\dfrac{17}{4} \right]$
Mặt khác $t\left( -1 \right)=\dfrac{5}{2}$, $t\left( 0 \right)=2$, $t\left( 2 \right)=\dfrac{17}{4}$.
Từ bảng biến thiên ta có nhận xét:
Với $\left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& \dfrac{5}{2}<t<\dfrac{17}{4} \\
\end{aligned} \right. $ thì 1 giá trị của t có một giá trị của x, với $ t\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]\Rightarrow $1 giá trị của t có 2 giá trị của x.
Với $t\in \left( 2;\dfrac{17}{4} \right]\Rightarrow $ Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nhiều nhất 2 nghiệm.
Khi đó phương trình đã cho có nhiều nhất 3 nghiệm khi phương trình $f\left( t \right)=m$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right]$ và 1 nghiệm ${{t}_{2}}\in \left( \dfrac{5}{2};\dfrac{17}{4} \right]$
Đáp án B.