Google
Câu hỏi: Cho số thực a và số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=1$ và $\dfrac{z-a}{1+i}$ là số thực. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| a-z \right|$. Tính $P=M-m.$
A. 2.
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}-1.$
D. $3-\sqrt{2}.$
A. 2.
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}-1.$
D. $3-\sqrt{2}.$
Đặt $z=b+ci$, với $b,c\in \mathbb{R}$. khi đó: $\dfrac{z-a}{1+i}=\dfrac{\left( a-b-ci \right)\left( i-1 \right)}{2}\in \mathbb{R}\Rightarrow c=b-a.$
Ta lại có: $\left| z-2i \right|=1\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=1.$
Do đó: $\left| a-z \right|=\left| \left( a-b \right)-ic \right|=\left| c \right|\sqrt{2}.$
Ta có: ${{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow 1\le \left| c \right|\le 3\Rightarrow \sqrt{2}\le \left| a-z \right|\le 3\sqrt{2}.$
Suy ra:$\left\{ \begin{aligned}
& M=3\sqrt{2} \\
& m=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=M-m=2\sqrt{2}.$
Ta lại có: $\left| z-2i \right|=1\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=1.$
Do đó: $\left| a-z \right|=\left| \left( a-b \right)-ic \right|=\left| c \right|\sqrt{2}.$
Ta có: ${{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow 1\le \left| c \right|\le 3\Rightarrow \sqrt{2}\le \left| a-z \right|\le 3\sqrt{2}.$
Suy ra:$\left\{ \begin{aligned}
& M=3\sqrt{2} \\
& m=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=M-m=2\sqrt{2}.$
Đáp án B.