Google
Câu hỏi: Cho số thực $a$ thỏa mãn giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-a \right|$ trên đoạn $\left[ 0; 4 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
[/LIST]
A. $\left( -4; -3 \right)$.
B. $\left( -3; -2 \right)$.
C. $\left( -2; -1 \right)$.
D. $\left( -1; 0 \right)$.
[/LIST]
A. $\left( -4; -3 \right)$.
B. $\left( -3; -2 \right)$.
C. $\left( -2; -1 \right)$.
D. $\left( -1; 0 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-a$ trên đoạn $\left[ 0; 4 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-x$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ 0; 4 \right] \\
& x=1\in \left[ 0; 4 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( 0 \right)=-a; f\left( 1 \right)=\ln 2-\dfrac{1}{2}-a; f\left( 4 \right)=\ln 17-8-a$.
Ta có $M=\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=\ln 2-\dfrac{1}{2}-a; m=\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\ln 17-8-a$.
Khi đó $\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{max}} \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{\left| M+m \right|+\left| M-m \right|}{2}=\dfrac{\left| \ln 2+\ln 17-\dfrac{17}{2}-2a \right|+\left| \ln 2-\ln 17+\dfrac{15}{2} \right|}{2}$
$\ge \dfrac{\ln 2-\ln 17+\dfrac{15}{2}}{2}=\dfrac{\ln \dfrac{2}{17}+\dfrac{15}{2}}{2}$.
Đạt được khi $\ln 2+\ln 17-\dfrac{17}{2}-2a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{\ln 34}{2}-\dfrac{17}{4}\Rightarrow a\in \left( -3; -2 \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-x$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ 0; 4 \right] \\
& x=1\in \left[ 0; 4 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( 0 \right)=-a; f\left( 1 \right)=\ln 2-\dfrac{1}{2}-a; f\left( 4 \right)=\ln 17-8-a$.
Ta có $M=\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=\ln 2-\dfrac{1}{2}-a; m=\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\ln 17-8-a$.
Khi đó $\underset{\left[ 0; 4 \right]}{\mathop{max}} \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{\left| M+m \right|+\left| M-m \right|}{2}=\dfrac{\left| \ln 2+\ln 17-\dfrac{17}{2}-2a \right|+\left| \ln 2-\ln 17+\dfrac{15}{2} \right|}{2}$
$\ge \dfrac{\ln 2-\ln 17+\dfrac{15}{2}}{2}=\dfrac{\ln \dfrac{2}{17}+\dfrac{15}{2}}{2}$.
Đạt được khi $\ln 2+\ln 17-\dfrac{17}{2}-2a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{\ln 34}{2}-\dfrac{17}{4}\Rightarrow a\in \left( -3; -2 \right)$.
Đáp án B.