Cho số thực $a>4$. Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương...

Ta có: ${{a}^{\ln {{\text{x}}^{2}}}}-{{a}^{\ln \left( ex \right)}}+a=0\left( x>0 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2\ln x}}-{{a}^{1+\ln x}}+a=0\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{\ln x}} \right)}^{2}}-a.{{a}^{\ln x}}+a=0$.
Đặt $t={{a}^{\ln \text{x}}}\left( t>0 \right)$, phương trình trở thành ${{t}^{2}}-at+a=0$ (*)
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{a}^{2}}-4\text{a}=a\left( a-4 \right)>0\forall a>4 \\
& S=a>0 \\
& P=a>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ phương trình (*) có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{\text{t}}_{2}}$ dương phân biệt.
Suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: $t={{a}^{\ln \text{x}}}\Leftrightarrow \ln \text{x}={{\log }_{a}}t\Leftrightarrow x={{e}^{{{\log }_{a}}t}}$
$\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{e}^{{{\log }_{a}}{{t}_{1}}}}.{{e}^{{{\log }_{a}}{{t}_{2}}}}={{e}^{{{\log }_{a}}{{t}_{1}}+{{\log }_{a}}{{t}_{2}}}}={{e}^{{{\log }_{a}}\left( {{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}}={{e}^{{{\log }_{a}}a}}=e\Rightarrow P=e$.