Google
Câu hỏi: Cho số thực $a>0$ và các số phức $z$ thỏa mãn $|z+6-8i|=a.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ để $M<3m$ ?
A. $4$.
B. Vô số.
C. $3$.
D. $12$.
A. $4$.
B. Vô số.
C. $3$.
D. $12$.
Ta có $|z+6-8i|=a$, khi đó tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( -6; 8 \right), $ bán kính $R=a$, với $OI=10$.
Giá trị lớn nhất của $|z|$ là $M=OI+a=10+a$.
TH1: $a\le 10$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là $m=OI-a=10-a$.
Để $M<3m\Leftrightarrow 10+a<3\left( 10-a \right)\Leftrightarrow a<5$.
TH này có $4$ giá trị của $a$ thỏa mãn, $a\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$.
TH2: $a>10$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là $m=a-OI=a-10$.
Để $M<3m\Leftrightarrow 10+a<3\left( a-10 \right)\Leftrightarrow a>20$.
TH này có vô số giá trị của $a$ thỏa mãn, $a\in \left\{ \mathbb{N}/a>20 \right\}$.
KL: Vậy có vô số giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giá trị lớn nhất của $|z|$ là $M=OI+a=10+a$.
TH1: $a\le 10$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là $m=OI-a=10-a$.
Để $M<3m\Leftrightarrow 10+a<3\left( 10-a \right)\Leftrightarrow a<5$.
TH này có $4$ giá trị của $a$ thỏa mãn, $a\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$.
TH2: $a>10$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là $m=a-OI=a-10$.
Để $M<3m\Leftrightarrow 10+a<3\left( a-10 \right)\Leftrightarrow a>20$.
TH này có vô số giá trị của $a$ thỏa mãn, $a\in \left\{ \mathbb{N}/a>20 \right\}$.
KL: Vậy có vô số giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.