Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$, ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thoả mãn $\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $6\sqrt{2+\sqrt{2}}$.
B. $3\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
C. $6\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{9}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
A. $6\sqrt{2+\sqrt{2}}$.
B. $3\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
C. $6\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{9}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Từ $\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\sqrt{2}$ ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=6$ ; $\left| {{z}_{2}} \right|=6$ ; $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\sqrt{2}$.
Gọi $M,$ ${{M}_{1}},$ ${{M}_{2}}$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z$, ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$ đều nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R=6$.
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\sqrt{2}$ nên ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=6\sqrt{2}$.
$P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ $=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}$
Xét ${{Q}_{\left( {{M}_{2}},60{}^\circ \right)}}\left( M \right)={M}'$ ; ${{Q}_{\left( {{M}_{2}},60{}^\circ \right)}}\left( O \right)={O}'$ theo tính chất của phép quay ta có $M{{M}_{2}}=M{M}'$ ; $OM={O}'{M}'$ $\Rightarrow P=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}\ge {{M}_{1}}M+M{M}'+{M}'{O}'\ge {{M}_{1}}{O}'$.
Dấu "=" xảy ra khi các điểm ${{M}_{1}}$, $M$, ${M}'$, ${O}'$ thẳng hàng
$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{M}_{1}}{O}'=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}-2.6.6\cos 150{}^\circ }=6\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Gọi $M,$ ${{M}_{1}},$ ${{M}_{2}}$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z$, ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$ đều nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R=6$.
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\sqrt{2}$ nên ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=6\sqrt{2}$.
$P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ $=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}$
Xét ${{Q}_{\left( {{M}_{2}},60{}^\circ \right)}}\left( M \right)={M}'$ ; ${{Q}_{\left( {{M}_{2}},60{}^\circ \right)}}\left( O \right)={O}'$ theo tính chất của phép quay ta có $M{{M}_{2}}=M{M}'$ ; $OM={O}'{M}'$ $\Rightarrow P=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}\ge {{M}_{1}}M+M{M}'+{M}'{O}'\ge {{M}_{1}}{O}'$.
Dấu "=" xảy ra khi các điểm ${{M}_{1}}$, $M$, ${M}'$, ${O}'$ thẳng hàng
$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{M}_{1}}{O}'=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}-2.6.6\cos 150{}^\circ }=6\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Đáp án C.