Cho số phức $z$ , $z_{1}$ , $z_{2}$ thoả mãn $\sqrt{2}\left|...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Cho số phức

z

,

z_{1}

,

z_{2}

thoả mãn

\sqrt{2} | z_{1} | = \sqrt{2} | z_{2} | = | z_{1} - z_{2} | = 6 \sqrt{2}

. Giá trị nhỏ nhất của

P = | z | + | z - z_{1} | + | z - z_{2} |

bằng
A.

6 \sqrt{2 + \sqrt{2}}

.
B.

3 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.
C.

6 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.
D.

\frac{9}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

Từ

\sqrt{2} | z_{1} | = \sqrt{2} | z_{2} | = | z_{1} - z_{2} | = 6 \sqrt{2}

ta có

| z_{1} | = 6

;

| z_{2} | = 6

;

| z_{1} - z_{2} | = 6 \sqrt{2}

.
Gọi

M,

M_{1},

M_{2}

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

z

,

z_{1}

,

z_{2}

.

M_{1}

,

M_{2}

đều nằm trên đường tròn tâm

O

bán kính

R = 6

.
Do

| z_{1} - z_{2} | = 6 \sqrt{2}

nên

M_{1} M_{2} = 6 \sqrt{2}

.

P = | z | + | z - z_{1} | + | z - z_{2} |

= O M + M M_{1} + M M_{2}

Xét

Q_{(M_{2}, 60^{\circ})} (M) = M^{'}

;

Q_{(M_{2}, 60^{\circ})} (O) = O^{'}

theo tính chất của phép quay ta có

M M_{2} = M M^{'}

;

O M = O^{'} M^{'}

\Rightarrow P = O M + M M_{1} + M M_{2} \geq M_{1} M + M M^{'} + M^{'} O^{'} \geq M_{1} O^{'}

.
Dấu "=" xảy ra khi các điểm

M_{1}

,

M

,

M^{'}

,

O^{'}

thẳng hàng

\Rightarrow P_{min} = M_{1} O^{'} = \sqrt{6^{2} + 6^{2} - 2.6 .6 \cos 150^{\circ}} = 6 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

Đáp án C.

Cho số phức z, z1, z2 thoả mãn $\sqrt{2}\left|...