Google
Câu hỏi: Cho số phức $z, {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=5\sqrt{2}; \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10.$ Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z \right|+\left| {{z}_{1}}-z \right|+\left| {{z}_{2}}-z \right|$ bằng
A. $10\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
B. $5\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
C. $6\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
D. $5\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
A. $10\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
B. $5\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
C. $6\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
D. $5\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
Gọi $M, {{M}_{1}}, {{M}_{2}}$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z, {{z}_{1}}, {{z}_{2}}.$
Suy ra ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}$ đều nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5\sqrt{2}.$
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10$ nên ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=10.$
Tóm lại ta có $P=\left| z \right|+\left| {{z}_{1}}-z \right|+\left| {{z}_{2}}-z \right|=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}.$
Xét ${{Q}_{\left( {{M}_{2}}{{,60}^{o}} \right)}}\left( M \right)={M}'; {{Q}_{\left( {{M}_{2,}}{{60}^{o}} \right)}}\left( O \right)={O}'$ theo tính chất của phép quay ta có $M{{M}_{2}}=M{M}'; OM={O}'{M}'$
$\Rightarrow P=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}\ge {{M}_{1}}M+M{M}'+{M}'{O}'\ge {{M}_{1}}{O}'$.
Dấu bằng xảy ra khi các điểm ${{M}_{1}},M,{M}',{O}'$ thẳng hàng
$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{M}_{1}}{O}'=\sqrt{50+50-2.5\sqrt{2}.5\sqrt{2}\cos {{150}^{o}}}=10\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
Suy ra ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}$ đều nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5\sqrt{2}.$
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10$ nên ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=10.$
Xét ${{Q}_{\left( {{M}_{2}}{{,60}^{o}} \right)}}\left( M \right)={M}'; {{Q}_{\left( {{M}_{2,}}{{60}^{o}} \right)}}\left( O \right)={O}'$ theo tính chất của phép quay ta có $M{{M}_{2}}=M{M}'; OM={O}'{M}'$
$\Rightarrow P=OM+M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}\ge {{M}_{1}}M+M{M}'+{M}'{O}'\ge {{M}_{1}}{O}'$.
$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{M}_{1}}{O}'=\sqrt{50+50-2.5\sqrt{2}.5\sqrt{2}\cos {{150}^{o}}}=10\sqrt{1+\sqrt{3}}.$
Đáp án A.