Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \overline{z}-2-3i \right|$ và $\left| z \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $3x-y$ bằng
A. $-6$
B. $-\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. 3
A. $-6$
B. $-\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. 3
Ta có $\left| z-i \right|=\left| \overline{z}-2-3i \right|\Leftrightarrow \left| x+(y-1)i \right|=\left| x-2-(y+3)i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}\Leftrightarrow -2y+1=-4x+6y+13$
$4x-8y-12=0\Leftrightarrow x-2y-3=0\Leftrightarrow x=2y+3$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(2y+3)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Lại có ${{(2y+3)}^{2}}+{{y}^{2}}=5{{y}^{2}}+12y+9=5.{{\left( y+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{5}\ge \dfrac{9}{5}$
$\Rightarrow \left| z \right|\ge \sqrt{\dfrac{9}{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
Dấu bằng xảy ra khi $y=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow x=\dfrac{3}{5}$
Vậy $3x-y=3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}\Leftrightarrow -2y+1=-4x+6y+13$
$4x-8y-12=0\Leftrightarrow x-2y-3=0\Leftrightarrow x=2y+3$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(2y+3)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Lại có ${{(2y+3)}^{2}}+{{y}^{2}}=5{{y}^{2}}+12y+9=5.{{\left( y+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{5}\ge \dfrac{9}{5}$
$\Rightarrow \left| z \right|\ge \sqrt{\dfrac{9}{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
Dấu bằng xảy ra khi $y=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow x=\dfrac{3}{5}$
Vậy $3x-y=3$
Đáp án D.