Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, và biểu thức $P=\left| z+1-i \right|+\left| z-1+i \right|+\left| z+2+2i \right|$ có giá trị nhỏ nhất là ${{P}_{0}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2<{{P}_{0}}<4$.
B. $0<{{P}_{0}}<2$.
C. ${{P}_{0}}>6$.
D. $4<{{P}_{0}}<6$.
Giả sử $M\left( z \right), A\left( -2; -2 \right), B\left( 1; -1 \right), C\left( -1; 1 \right)$. Khi đó:
$P=\left| z+1-i \right|+\left| z-1+i \right|+\left| z+2+2i \right|=MA+MB+MC$.
${{P}_{\min }}={{P}_{0}}={{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là điểm Torricelli xác định như hình vẽ, trong đó các tam giác $ABE, BCF, ACD$ đều.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( 3; 1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{10} , I\left( -\dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{2} \right)$ là trung điểm của $AB$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $1\left( x+2 \right)-3\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow x-3y-4=0.$
Phương trình đường trung trực của $AB$ là: $3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)+1\left( y+\dfrac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow 3x+y+3=0 \left( d \right)$.
+) Tam giác $ABE$ đều, suy ra: $E\in \left( d \right)\Rightarrow $ Giả sử $E\left( a; -3a-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\left( a+2; -3a-1 \right)$.
Và: $AE=AB\Rightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( -3a-1 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2a-1=0\Leftrightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{E}_{1}}\left( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2} \right) \\
& {{E}_{2}}\left( \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do $E,C$ nằm khác phía so với đường thẳng $AB$ nên $E\equiv {{E}_{1}}\left( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2} \right)$ thỏa mãn.
+) $\overrightarrow{CE}=\left( \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{5+3\sqrt{3}}{2} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1; -2-\sqrt{3} \right)$.
Phương trình đường thẳng $CE$ là: $\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( x+1 \right)+1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 2+\sqrt{3} \right)x+y+1+\sqrt{3}=0.$
+) $\overrightarrow{AC}=\left( 1; 3 \right)\Rightarrow AC=\sqrt{10} , J\left( -\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2} \right)$ là trung điểm của $AC$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là: $3\left( x+2 \right)-1\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow 3x-y+4=0.$
Phương trình đường trung trực của $AC$ là: $1\left( x+\dfrac{3}{2} \right)+3\left( y+\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow x+3y+3=0 \left( {{d}'} \right)$.
+) Tam giác $ACD$ đều, suy ra: $D\in \left( {{d}'} \right)\Rightarrow $ Giả sử $D\left( -3b-3; b \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left( -1-3b; b+2 \right)$.
Và: $AD=AC\Rightarrow {{\left( -1-3b \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+2b-1=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{D}_{1}}\left( -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \right) \\
& {{D}_{2}}\left( \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do $D,B$ nằm khác phía so với đường thẳng $AC$ nên $D\equiv {{D}_{1}}\left( -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)$ thỏa mãn.
+) $\overrightarrow{BD}=\left( -\dfrac{5+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( 2+\sqrt{3}; -1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BD$ là: $1\left( x-1 \right)+\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow x+\left( 2+\sqrt{3} \right)y+1+\sqrt{3}=0.$
+) Khi đó: $\left\{ M \right\}=BD\cap CE\Rightarrow M\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3}; -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$.
+) $\overrightarrow{MA}=\left( \dfrac{\sqrt{3}-6}{3}; \dfrac{\sqrt{3}-6}{3} \right)\Rightarrow MA=\sqrt{\dfrac{26-8\sqrt{3}}{3}}; \overrightarrow{MB}=\left( \dfrac{\sqrt{3}+3}{3}; \dfrac{\sqrt{3}-1}{3} \right)\Rightarrow MB=\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}; $
$\overrightarrow{MC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{3}; \dfrac{\sqrt{3}+3}{3} \right)\Rightarrow MC=\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}$.
+) ${{P}_{\min }}={{P}_{0}}={{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}=\sqrt{\dfrac{26-8\sqrt{3}}{3}}+2\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}\approx 5,2\in \left( 4; 6 \right).$
.
A. $2<{{P}_{0}}<4$.
B. $0<{{P}_{0}}<2$.
C. ${{P}_{0}}>6$.
D. $4<{{P}_{0}}<6$.
$P=\left| z+1-i \right|+\left| z-1+i \right|+\left| z+2+2i \right|=MA+MB+MC$.
${{P}_{\min }}={{P}_{0}}={{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là điểm Torricelli xác định như hình vẽ, trong đó các tam giác $ABE, BCF, ACD$ đều.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( 3; 1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{10} , I\left( -\dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{2} \right)$ là trung điểm của $AB$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $1\left( x+2 \right)-3\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow x-3y-4=0.$
Phương trình đường trung trực của $AB$ là: $3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)+1\left( y+\dfrac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow 3x+y+3=0 \left( d \right)$.
+) Tam giác $ABE$ đều, suy ra: $E\in \left( d \right)\Rightarrow $ Giả sử $E\left( a; -3a-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\left( a+2; -3a-1 \right)$.
Và: $AE=AB\Rightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( -3a-1 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2a-1=0\Leftrightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{E}_{1}}\left( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2} \right) \\
& {{E}_{2}}\left( \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do $E,C$ nằm khác phía so với đường thẳng $AB$ nên $E\equiv {{E}_{1}}\left( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2} \right)$ thỏa mãn.
+) $\overrightarrow{CE}=\left( \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{5+3\sqrt{3}}{2} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1; -2-\sqrt{3} \right)$.
Phương trình đường thẳng $CE$ là: $\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( x+1 \right)+1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 2+\sqrt{3} \right)x+y+1+\sqrt{3}=0.$
+) $\overrightarrow{AC}=\left( 1; 3 \right)\Rightarrow AC=\sqrt{10} , J\left( -\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2} \right)$ là trung điểm của $AC$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là: $3\left( x+2 \right)-1\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow 3x-y+4=0.$
Phương trình đường trung trực của $AC$ là: $1\left( x+\dfrac{3}{2} \right)+3\left( y+\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow x+3y+3=0 \left( {{d}'} \right)$.
+) Tam giác $ACD$ đều, suy ra: $D\in \left( {{d}'} \right)\Rightarrow $ Giả sử $D\left( -3b-3; b \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left( -1-3b; b+2 \right)$.
Và: $AD=AC\Rightarrow {{\left( -1-3b \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+2b-1=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{D}_{1}}\left( -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \right) \\
& {{D}_{2}}\left( \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do $D,B$ nằm khác phía so với đường thẳng $AC$ nên $D\equiv {{D}_{1}}\left( -\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)$ thỏa mãn.
+) $\overrightarrow{BD}=\left( -\dfrac{5+3\sqrt{3}}{2}; \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( 2+\sqrt{3}; -1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BD$ là: $1\left( x-1 \right)+\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow x+\left( 2+\sqrt{3} \right)y+1+\sqrt{3}=0.$
+) Khi đó: $\left\{ M \right\}=BD\cap CE\Rightarrow M\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3}; -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$.
+) $\overrightarrow{MA}=\left( \dfrac{\sqrt{3}-6}{3}; \dfrac{\sqrt{3}-6}{3} \right)\Rightarrow MA=\sqrt{\dfrac{26-8\sqrt{3}}{3}}; \overrightarrow{MB}=\left( \dfrac{\sqrt{3}+3}{3}; \dfrac{\sqrt{3}-1}{3} \right)\Rightarrow MB=\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}; $
$\overrightarrow{MC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{3}; \dfrac{\sqrt{3}+3}{3} \right)\Rightarrow MC=\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}$.
+) ${{P}_{\min }}={{P}_{0}}={{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}=\sqrt{\dfrac{26-8\sqrt{3}}{3}}+2\sqrt{\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}}\approx 5,2\in \left( 4; 6 \right).$
.
Đáp án D.