Cho số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$ thỏa mãn...

Gọi $N(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$
Ta có: $|\bar{z}+2-3i|\le |z-2+i|\iff 2x+y+2\le 0;|z-2+i|\le 5\iff {(x-2)}^2+{(y+1)}^2\le 25$ (hình tròn tâm $I(2;-1)$, bán kính $r=5)$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $|\bar{z}+2-3i|\le |z-2+i|\le 5$ thuộc miền (T) (xem hình vẽ với $A(-2;2);B(2;-6)$ ).
Ta có $P+25={(x+4)}^2+{(y+3)}^2\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{(x+4)}^2+{(y+3)}^2}=NJ$ (với $J(-4;-3))$
Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T) sao cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có: $IJ-r\le NJ\le JB\iff 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\iff 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$
Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$