Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$. Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x+6y$. Giá trị m + M bằng
A. $60-20\sqrt{10}.$
B. $44-20\sqrt{10}.$
C. $\dfrac{9}{5}.$
D. $52-20\sqrt{10}.$
Gọi $N\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$
Ta có: $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\le 0;\left| z-2+i \right|\le 5\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\le 25$ (hình tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$, bán kính $r=5)$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$ thuộc miền (T) (xem hình vẽ với $A\left( -2;2 \right);B\left( 2;-6 \right)$ ).
Ta có $P+25={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}=NJ$ (với $J\left( -4;-3 \right))$
Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T) sao cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có: $IJ-r\le NJ\le JB\Leftrightarrow 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\Leftrightarrow 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$
Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$
A. $60-20\sqrt{10}.$
B. $44-20\sqrt{10}.$
C. $\dfrac{9}{5}.$
D. $52-20\sqrt{10}.$
Gọi $N\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$
Ta có: $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\le 0;\left| z-2+i \right|\le 5\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\le 25$ (hình tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$, bán kính $r=5)$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$ thuộc miền (T) (xem hình vẽ với $A\left( -2;2 \right);B\left( 2;-6 \right)$ ).
Ta có $P+25={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}=NJ$ (với $J\left( -4;-3 \right))$
Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T) sao cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có: $IJ-r\le NJ\le JB\Leftrightarrow 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\Leftrightarrow 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$
Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$
Đáp án A.