Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có phần thực khác 0. Biết số phức $w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A. $M\left( 0;1 \right)$.
B. $N\left( 2;-1 \right)$.
C. $P\left( 1;3 \right)$.
D. $Q\left( 1;1 \right)$.
A. $M\left( 0;1 \right)$.
B. $N\left( 2;-1 \right)$.
C. $P\left( 1;3 \right)$.
D. $Q\left( 1;1 \right)$.
Ta có $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R};x\ne 0 \right)$
Mặt khác $w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}=i{{\left( x+yi \right)}^{2}}+2\left( x-yi \right)=2\left( x-xy \right)+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2y \right)i$.
Vì $w$ là số thuần ảo nên $x-xy=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \left( \text{không thỏa mãn điều kiện } \right) \\
& y-1=0 (\text{thỏa mãn điều kiện })
\end{aligned} \right.$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng có phương trình $y-1=0$ (trừ điểm $M\left( 0;1 \right)$ ), do đó đường thẳng này đi qua điểm $Q\left( 1;1 \right)$.
Mặt khác $w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}=i{{\left( x+yi \right)}^{2}}+2\left( x-yi \right)=2\left( x-xy \right)+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2y \right)i$.
Vì $w$ là số thuần ảo nên $x-xy=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \left( \text{không thỏa mãn điều kiện } \right) \\
& y-1=0 (\text{thỏa mãn điều kiện })
\end{aligned} \right.$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng có phương trình $y-1=0$ (trừ điểm $M\left( 0;1 \right)$ ), do đó đường thẳng này đi qua điểm $Q\left( 1;1 \right)$.
Đáp án D.