Cho số phức $z$ và gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm của...

Ta có : $z^2+8i=0\iff z^2=-8i={(2-2i)}^2\iff [\begin{array}{rl}& z=z_1=2-2i\\ & z=z_2=-2+2i\end{array}$. Do vậy
$P=|z-2+2i|+|z_2+2-2i|+|\bar{z}+2(2-2i)+{\displaystyle \frac{-2+2i}{2}}|=|z-2+2i|+|z+2-2i|+|\bar{z}+3-3i|$
$=\sqrt{{(a-2)}^2+{(b+2)}^2}+\sqrt{{(a+2)}^2+{(b-2)}^2}+\sqrt{{(a+3)}^2+{(b+3)}^2}$.
$=MA+MB+MC$ với $A(2;-2);B(-2;2);C(-3;-3);M\left(z\right),z=a+bi$.
Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{AQB}=\widehat{BQC}=\widehat{CQA}={120}^0$, khi đó các vecto ${\displaystyle \frac{1}{QA}}\overrightarrow{QA},{\displaystyle \frac{1}{QB}}\overrightarrow{QB},{\displaystyle \frac{1}{QC}}\overrightarrow{QC}$ là các vecto đơn vị các góc tạo bởi đôi một hai vecto là ${120}^0$ nên ${\displaystyle \frac{1}{QA}}\overrightarrow{QA}+{\displaystyle \frac{1}{QB}}\overrightarrow{QB}+{\displaystyle \frac{1}{QC}}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
$MA+MB+MC={\displaystyle \frac{MA.QA}{QA}}+{\displaystyle \frac{MB.QB}{QB}}+{\displaystyle \frac{MC.QC}{QC}}\ge {\displaystyle \frac{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{QA}}{QA}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{QB}}{QB}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{QC}}{QC}}$
$={\displaystyle \frac{(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA}).\overrightarrow{QA}}{QA}}+{\displaystyle \frac{(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QB}).\overrightarrow{QB}}{QB}}+{\displaystyle \frac{(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QC}).\overrightarrow{QC}}{QC}}$
$=\overrightarrow{MQ}({\displaystyle \frac{1}{QA}}\overrightarrow{QA}+{\displaystyle \frac{1}{QB}}\overrightarrow{QB}+{\displaystyle \frac{1}{QC}}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0})+QA+QB+QC=QA+QB+QC=const$.
Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv Q$. Nhận thấy rằng, $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $C$ nên $Q$ thuộc đường trung trực của $AB$ là đường thẳng $y=x$. Vì vậy, $Q(x,x)$, $(-3<x<0)$ và $\widehat{AQC}={120}^0$.
$\iff {\displaystyle \frac{\overrightarrow{QA.}.\overrightarrow{QC}}{QA.QC}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {\displaystyle \frac{(2-x;-2-x)(-3-x;-3-x)}{\sqrt{{(2-x)}^2+{(-2-x)}^2}.\sqrt{{(-3-x)}^2+{(-3-x)}^2}}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\begin{array}{rl}& \iff {\displaystyle \frac{(2-x)(-3-x)+(2+x)(3+x)}{\sqrt{{(2-x)}^2+{(-2-x)}^2}.\sqrt{{(-3-x)}^2+{(-3-x)}^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff x=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\Rightarrow Q(-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}};-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}})\end{array}$
Vậy ${(MA+MB+MC)}_{min}=QA+QB+QC=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}$. Do đó, $m=q=2;n=6,p=3$ và biểu thức $m+n+p+q=13$.