Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ và gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+8i=0$ ( ${{z}_{1}}$ có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}}-z \right|+\left| \overline{z}+2{{z}_{1}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{2} \right|$ được viết dưới dạng $m\sqrt{n}+p\sqrt{q}$ (trong đó $n,p\in \mathbb{N}; m,q$ là các số nguyên tố). Tổng $m+n+p+q$ bằng
A. $10$.
B. $13$.
C. $11$.
D. $12$.
A. $10$.
B. $13$.
C. $11$.
D. $12$.
Ta có : ${{z}^{2}}+8i=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}=-8i={{\left( 2-2i \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z={{z}_{1}}=2-2i \\
& z={{z}_{2}}=-2+2i \\
\end{aligned} \right.$. Do vậy
$P=\left| z-2+2i \right|+\left| {{z}_{2}}+2-2i \right|+\left| \overline{z}+2\left( 2-2i \right)+\dfrac{-2+2i}{2} \right|=\left| z-2+2i \right|+\left| z+2-2i \right|+\left| \overline{z}+3-3i \right|$
$=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}$.
$=MA+MB+MC$ với $A\left( 2;-2 \right); B\left( -2;2 \right); C\left( -3;-3 \right); M\left( z \right),z=a+bi$.
Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{AQB}=\widehat{BQC}=\widehat{CQA}={{120}^{0}}$, khi đó các vecto $\dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}, \dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}, \dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}$ là các vecto đơn vị các góc tạo bởi đôi một hai vecto là ${{120}^{0}}$ nên $\dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}+\dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}+\dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
$MA+MB+MC=\dfrac{MA.QA}{QA}+\dfrac{MB.QB}{QB}+\dfrac{MC.QC}{QC}\ge \dfrac{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{QA}}{QA}+\dfrac{\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{QB}}{QB}+\dfrac{\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{QC}}{QC}$
$=\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA} \right).\overrightarrow{QA}}{QA}+\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QB} \right).\overrightarrow{QB}}{QB}+\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QC} \right).\overrightarrow{QC}}{QC}$
$=\overrightarrow{MQ}\left( \dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}+\dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}+\dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0} \right)+QA+QB+QC=QA+QB+QC=const$.
Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv Q$. Nhận thấy rằng, $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $Q$ thuộc đường trung trực của $AB$ là đường thẳng $y=x$. Vì vậy, $Q\left( x,x \right)$, $\left( -3<x<0 \right)$ và $\widehat{AQC}={{120}^{0}}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\overrightarrow{QA.}.\overrightarrow{QC}}{QA.QC}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left( 2-x;-2-x \right)\left( -3-x;-3-x \right)}{\sqrt{{{\left( 2-x \right)}^{2}}+{{\left( -2-x \right)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -3-x \right)}^{2}}+{{\left( -3-x \right)}^{2}}}}=-\dfrac{1}{2}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( 2-x \right)\left( -3-x \right)+\left( 2+x \right)\left( 3+x \right)}{\sqrt{{{\left( 2-x \right)}^{2}}+{{\left( -2-x \right)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -3-x \right)}^{2}}+{{\left( -3-x \right)}^{2}}}}-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=-\dfrac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow Q\left( -\dfrac{2}{\sqrt{3}};-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right) \\
\end{aligned}$
Vậy ${{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}=QA+QB+QC=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}$. Do đó, $m=q=2; n=6,p=3$ và biểu thức $m+n+p+q=13$.
& z={{z}_{1}}=2-2i \\
& z={{z}_{2}}=-2+2i \\
\end{aligned} \right.$. Do vậy
$P=\left| z-2+2i \right|+\left| {{z}_{2}}+2-2i \right|+\left| \overline{z}+2\left( 2-2i \right)+\dfrac{-2+2i}{2} \right|=\left| z-2+2i \right|+\left| z+2-2i \right|+\left| \overline{z}+3-3i \right|$
$=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}$.
$=MA+MB+MC$ với $A\left( 2;-2 \right); B\left( -2;2 \right); C\left( -3;-3 \right); M\left( z \right),z=a+bi$.
Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{AQB}=\widehat{BQC}=\widehat{CQA}={{120}^{0}}$, khi đó các vecto $\dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}, \dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}, \dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}$ là các vecto đơn vị các góc tạo bởi đôi một hai vecto là ${{120}^{0}}$ nên $\dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}+\dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}+\dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
$MA+MB+MC=\dfrac{MA.QA}{QA}+\dfrac{MB.QB}{QB}+\dfrac{MC.QC}{QC}\ge \dfrac{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{QA}}{QA}+\dfrac{\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{QB}}{QB}+\dfrac{\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{QC}}{QC}$
$=\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA} \right).\overrightarrow{QA}}{QA}+\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QB} \right).\overrightarrow{QB}}{QB}+\dfrac{\left( \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QC} \right).\overrightarrow{QC}}{QC}$
$=\overrightarrow{MQ}\left( \dfrac{1}{QA}\overrightarrow{QA}+\dfrac{1}{QB}\overrightarrow{QB}+\dfrac{1}{QC}\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0} \right)+QA+QB+QC=QA+QB+QC=const$.
Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv Q$. Nhận thấy rằng, $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $Q$ thuộc đường trung trực của $AB$ là đường thẳng $y=x$. Vì vậy, $Q\left( x,x \right)$, $\left( -3<x<0 \right)$ và $\widehat{AQC}={{120}^{0}}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\overrightarrow{QA.}.\overrightarrow{QC}}{QA.QC}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left( 2-x;-2-x \right)\left( -3-x;-3-x \right)}{\sqrt{{{\left( 2-x \right)}^{2}}+{{\left( -2-x \right)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -3-x \right)}^{2}}+{{\left( -3-x \right)}^{2}}}}=-\dfrac{1}{2}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( 2-x \right)\left( -3-x \right)+\left( 2+x \right)\left( 3+x \right)}{\sqrt{{{\left( 2-x \right)}^{2}}+{{\left( -2-x \right)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -3-x \right)}^{2}}+{{\left( -3-x \right)}^{2}}}}-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=-\dfrac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow Q\left( -\dfrac{2}{\sqrt{3}};-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right) \\
\end{aligned}$
Vậy ${{\left( MA+MB+MC \right)}_{\min }}=QA+QB+QC=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}$. Do đó, $m=q=2; n=6,p=3$ và biểu thức $m+n+p+q=13$.
Đáp án B.