Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-3-2 i|=1$. Giá trị lớn nhất của...

Cách 1. Gọi $M(x ; y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, ta có $|z-3-2 i|=1 \Leftrightarrow|x-3+(y-2) i|=$ $1 \Leftrightarrow(x-3)^2+(y-2)^2=1$. Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(3 ; 2)$, bán kính $R=1$.
Gọi $A(-1 ; 1), B(-1 ; 3)$, ta có
$
P=|z+1-i|+|z+1-3 i|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=M A+M B .
$
Gọi $H$ là trung điểm $A B$, khi đó $H(-1 ; 2)$.
Ta có $P=M A+M B \leq \sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{M A^2+M B^2}=\sqrt{2\left(M A^2+M B^2\right)}=\sqrt{4 M H^2+A B^2}$ $\leq \sqrt{4(M I+I H)^2+4}=\sqrt{4(1+4)^2+4}=2 \sqrt{26}$.
Dấu "=" xảy ra khi $M A=M B$ và $I$ nằm giữa $H$ và $M$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $2 \sqrt{26}$.
Cách 2. Gọi $M(x ; y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, ta có $|z-3-2 i|=1 \Leftrightarrow|x-3+(y-2) i|=$ $1 \Leftrightarrow(x-3)^2+(y-2)^2=1 \Leftrightarrow(y-2)^2=-x^2+6 x-8$.
Điều kiện: $-x^2+6 x-8 \geq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 4$, khi đó $y=2 \pm \sqrt{-x^2+6 x-8}$.
Gọi $A(-1 ; 1), B(-1 ; 3)$, ta có
$
P=|z+1-i|+|z+1-3 i|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2} \text {. }
$
TH1. Với $y=2+\sqrt{-x^2+6 x-8}$, ta có
$
P=\sqrt{(x+1)^2+\left(1+\sqrt{-x^2+6 x-8}\right)^2}+\sqrt{(x+1)^2+\left(-1+\sqrt{-x^2+6 x-8}\right)^2} \text {. }
$
Lập bảng giá trị với $x \in[2 ; 4]$, ta được giá trị lớn nhất của $P$ là $2 \sqrt{26}$.
TH2. Với $y=2-\sqrt{-x^2+6 x-8}$, làm tương tự, ta được giá trị lớn nhất của $P$ là $2 \sqrt{26}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $2 \sqrt{26}$.