Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\sqrt{15} \right|+\left| z-\sqrt{15} \right|=8$ và $\left| z+\sqrt{15}i \right|+\left| z-\sqrt{15}i \right|=8$. Tính $\left| z \right|$.
A. $\left| z \right|=\dfrac{4\sqrt{34}}{17}$.
B. $\left| z \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\left| z \right|=\dfrac{4}{5}$.
D. $\left| z \right|=\dfrac{5}{4}$.
A. $\left| z \right|=\dfrac{4\sqrt{34}}{17}$.
B. $\left| z \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\left| z \right|=\dfrac{4}{5}$.
D. $\left| z \right|=\dfrac{5}{4}$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức z.
Gọi điểm $A\left( -\sqrt{15};0 \right), B\left( \sqrt{15};0 \right)$ thì từ $\left| z+\sqrt{15} \right|+\left| z-\sqrt{15} \right|=8\Rightarrow MA+MB=8$ hay tập hợp điểm M là elip có $c=\sqrt{5}, 2a=8\Rightarrow a=4\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1\Rightarrow $ phương trình $\left( {{E}_{1}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{y}^{2}}=1$.
Gọi điểm $C\left( 0;-\sqrt{15} \right), D\left( 0;\sqrt{15} \right)$ thì từ $\left| z+\sqrt{15}i \right|+\left| z-\sqrt{15}i \right|=8\Rightarrow MC+MD=8$ hay tập hợp điểm M là elip có ${c}'=\sqrt{15}, 2{b}'=8\Rightarrow {b}'=4\Rightarrow {a}'=\sqrt{{{{{b}'}}^{2}}-{{{{c}'}}^{2}}}=1\Rightarrow $ phương trình $\left( {{E}_{2}} \right):{{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$
Do $M\in \left( {{E}_{1}} \right), M\in \left( {{E}_{2}} \right)$ nên tọa độ M thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{y}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{16}{17} \\
& {{y}^{2}}=\dfrac{16}{17} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{34}}{17}$
Note 95: Phương pháp chung
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (với $a>0, b>0$ )
Điểm M thuộc hai elip. Giải hệ hai phương trình elip ta tìm ra được điểm M .
Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ và tương giao của hai elip. Mở rộng bài toán là sự tương giao của các đường khác trong mặt phẳng tọa độ như đường thẳng, đường tròn, elip, hypebol,...
Gọi điểm $A\left( -\sqrt{15};0 \right), B\left( \sqrt{15};0 \right)$ thì từ $\left| z+\sqrt{15} \right|+\left| z-\sqrt{15} \right|=8\Rightarrow MA+MB=8$ hay tập hợp điểm M là elip có $c=\sqrt{5}, 2a=8\Rightarrow a=4\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1\Rightarrow $ phương trình $\left( {{E}_{1}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{y}^{2}}=1$.
Gọi điểm $C\left( 0;-\sqrt{15} \right), D\left( 0;\sqrt{15} \right)$ thì từ $\left| z+\sqrt{15}i \right|+\left| z-\sqrt{15}i \right|=8\Rightarrow MC+MD=8$ hay tập hợp điểm M là elip có ${c}'=\sqrt{15}, 2{b}'=8\Rightarrow {b}'=4\Rightarrow {a}'=\sqrt{{{{{b}'}}^{2}}-{{{{c}'}}^{2}}}=1\Rightarrow $ phương trình $\left( {{E}_{2}} \right):{{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$
Do $M\in \left( {{E}_{1}} \right), M\in \left( {{E}_{2}} \right)$ nên tọa độ M thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{y}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{16}{17} \\
& {{y}^{2}}=\dfrac{16}{17} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{34}}{17}$
Note 95: Phương pháp chung
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (với $a>0, b>0$ )
Điểm M thuộc hai elip. Giải hệ hai phương trình elip ta tìm ra được điểm M .
Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ và tương giao của hai elip. Mở rộng bài toán là sự tương giao của các đường khác trong mặt phẳng tọa độ như đường thẳng, đường tròn, elip, hypebol,...
Đáp án A.