Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=2.$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=\left( 1-i \right)\overline{z}+2i$ là một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó
A. 8.
B. 2.
C. $2\sqrt{2}.$
D. 4.
A. 8.
B. 2.
C. $2\sqrt{2}.$
D. 4.
Gọi $w=x+yi;x,y\in \mathbb{R}.$ Theo đề, ta có $w=\left( 1-i \right)\overline{z}+2i\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{w-2i}{1-i}=\dfrac{z+\left( y-2 \right)i}{1-i}.$
Lấy môđun hai vế, ta được $\left| \overline{z} \right|=\left| \dfrac{x+\left( y-2 \right)i}{1-i} \right|=\dfrac{\left| x+\left( y-2 \right)i \right|}{\left| 1-i \right|}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}.$
Lại có $\left| z \right|=\left| \overline{z} \right|$ suy ra $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8.$
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{2}.$
Lấy môđun hai vế, ta được $\left| \overline{z} \right|=\left| \dfrac{x+\left( y-2 \right)i}{1-i} \right|=\dfrac{\left| x+\left( y-2 \right)i \right|}{\left| 1-i \right|}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}.$
Lại có $\left| z \right|=\left| \overline{z} \right|$ suy ra $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8.$
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{2}.$
Đáp án C.