Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$ là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó?
A. $I\left( 3 ; -2 \right)$.
B. $I\left( -3 ; 2 \right)$.
C. $I\left( 3 ; 2 \right)$.
D. $I\left( -3 ; -2 \right)$.
A. $I\left( 3 ; -2 \right)$.
B. $I\left( -3 ; 2 \right)$.
C. $I\left( 3 ; 2 \right)$.
D. $I\left( -3 ; -2 \right)$.
Cách 1.
Đặt $\text{w}=x+yi$.Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow \left( 2-i \right)z=\left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i$.
$\Leftrightarrow \left( 4-{{i}^{2}} \right)z=\left[ \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i \right].\left( 2+i \right)$.
$\Leftrightarrow z=\dfrac{2x-y-8}{5}+\dfrac{x+2y+1}{5}i$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{\left( \dfrac{2x-y-8}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x+2y+1}{5} \right)}^{2}}=4$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3 ; -2 \right)$.
Cách 2.
Đặt $z=a+bi;\text{w}=x+yi$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi+2i-3=\left( 2-i \right)\left( a+bi \right)$.
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i=\left( 2a+b \right)+\left( 2b-a \right)i$.
$\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( 2a+b \right)}^{2}}+{{\left( 2b-a \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3 ; -2 \right)$.
Đặt $\text{w}=x+yi$.Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow \left( 2-i \right)z=\left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i$.
$\Leftrightarrow \left( 4-{{i}^{2}} \right)z=\left[ \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i \right].\left( 2+i \right)$.
$\Leftrightarrow z=\dfrac{2x-y-8}{5}+\dfrac{x+2y+1}{5}i$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{\left( \dfrac{2x-y-8}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x+2y+1}{5} \right)}^{2}}=4$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3 ; -2 \right)$.
Cách 2.
Đặt $z=a+bi;\text{w}=x+yi$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi+2i-3=\left( 2-i \right)\left( a+bi \right)$.
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i=\left( 2a+b \right)+\left( 2b-a \right)i$.
$\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( 2a+b \right)}^{2}}+{{\left( 2b-a \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3 ; -2 \right)$.
Đáp án A.
