Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=1.$ Tổng giá trị lớn nhất ${{M}_{\max }}$ và giá trị nhỏ nhất ${{M}_{\min }}$ của biểu thức $M=\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|+\left| {{z}^{3}}+1 \right|$ bằng
A. 6.
B. 9.
C. 3.
D. 10.
A. 6.
B. 9.
C. 3.
D. 10.
Ta có $M\le {{\left| z \right|}^{2}}+\left| z \right|+1+{{\left| z \right|}^{3}}+1=5,$ khi $z=1\Rightarrow M=5\Rightarrow {{M}_{\max }}=5.$
Mặt khác: $M=\dfrac{\left| 1-{{z}^{3}} \right|}{\left| 1-z \right|}+\left| 1+{{z}^{3}} \right|\ge \dfrac{\left| 1-{{z}^{3}} \right|}{2}+\dfrac{\left| 1+{{z}^{3}} \right|}{2}\ge \dfrac{\left| 1-{{z}^{3}}+1+{{z}^{3}} \right|}{2}=1,$
Khi $z=-1\Rightarrow M=1\Rightarrow {{M}_{\min }}=1.$
Mặt khác: $M=\dfrac{\left| 1-{{z}^{3}} \right|}{\left| 1-z \right|}+\left| 1+{{z}^{3}} \right|\ge \dfrac{\left| 1-{{z}^{3}} \right|}{2}+\dfrac{\left| 1+{{z}^{3}} \right|}{2}\ge \dfrac{\left| 1-{{z}^{3}}+1+{{z}^{3}} \right|}{2}=1,$
Khi $z=-1\Rightarrow M=1\Rightarrow {{M}_{\min }}=1.$
Đáp án A.