Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| z+1 \right|+2\left| z-1 \right|$
A. $\max T=3\sqrt{2}.$
B. $\max T=2\sqrt{10}.$
C. $\max T=3\sqrt{5}.$
D. $\max T=2\sqrt{5}.$
A. $\max T=3\sqrt{2}.$
B. $\max T=2\sqrt{10}.$
C. $\max T=3\sqrt{5}.$
D. $\max T=2\sqrt{5}.$
$T=\left| z+1 \right|+2\left| z-1 \right|\le \sqrt{\left( 1+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left| z+1 \right|}^{2}}+{{\left| z-1 \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{5.2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+1 \right)}=2\sqrt{5}$
(BĐT Cauchy-swart)
Chú ý: ${{\left| z+1 \right|}^{2}}+{{\left| z-1 \right|}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+1 \right)$ với $\text{z}=x+yi$
Cách 2: Đặt $\text{z}=x+yi$ ta có: $T=\left| x+yi+1 \right|+2\left| x-yi-1 \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Lại có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow T=\sqrt{2x+2}+2\sqrt{-2x+2}=f\left( x \right)$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}}-\dfrac{2}{\sqrt{2-2x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{10}\Rightarrow {{T}_{\max }}=2\sqrt{5}.$
(BĐT Cauchy-swart)
Chú ý: ${{\left| z+1 \right|}^{2}}+{{\left| z-1 \right|}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+1 \right)$ với $\text{z}=x+yi$
Cách 2: Đặt $\text{z}=x+yi$ ta có: $T=\left| x+yi+1 \right|+2\left| x-yi-1 \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Lại có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow T=\sqrt{2x+2}+2\sqrt{-2x+2}=f\left( x \right)$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}}-\dfrac{2}{\sqrt{2-2x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{10}\Rightarrow {{T}_{\max }}=2\sqrt{5}.$
Đáp án D.