Cho số phức $z$ thỏa mãn $| z | = 1.$ Tìm giá trị lớn...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho số phức

z

thỏa mãn

| z | = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = | z + 1 | + 2 | z - 1 |

A.

max T = 3 \sqrt{2} .

B.

max T = 2 \sqrt{10} .

C.

max T = 3 \sqrt{5} .

D.

max T = 2 \sqrt{5} .

T = | z + 1 | + 2 | z - 1 | \leq \sqrt{(1 + 2^{2}) ({| z + 1 |}^{2} + {| z - 1 |}^{2})} = \sqrt{5.2 ({| z |}^{2} + 1)} = 2 \sqrt{5}

(BĐT Cauchy-swart)
Chú ý:

{| z + 1 |}^{2} + {| z - 1 |}^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 = 2 ({| z |}^{2} + 1)

với

z = x + y i

Cách 2: Đặt

z = x + y i

ta có:

T = | x + y i + 1 | + 2 | x - y i - 1 | = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + 2 \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}

Lại có

x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow T = \sqrt{2 x + 2} + 2 \sqrt{- 2 x + 2} = f (x)

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}} - \frac{2}{\sqrt{2 - 2 x}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 6}{10} \Rightarrow T_{max} = 2 \sqrt{5} .

Đáp án D.

Cho số phức z thỏa mãn |z|=1. Tìm giá trị lớn...