Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\left| 1+\dfrac{5i}{2} \right|$
A. 5
B. 4
C. 6
D. 8
A. 5
B. 4
C. 6
D. 8
Cách 1: Ta đặt $z=x+y,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Lúc này ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -1\le y\le 1$
Ta có $A=\left| 1+\dfrac{5i}{z} \right|=\left| 1+\dfrac{5i}{x+yi} \right|$
$=\left| 1+\dfrac{5i\left( x-yi \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|=\left| 1+5ix-5y{{i}^{2}} \right|$
$=\left| 1+5y+5xi \right|$
$\Leftrightarrow {{A}^{2}}=25{{x}^{2}}+{{\left( 5y+1 \right)}^{2}}=25+10y+1\le 36$, (do $y\le 1$ )
Dấu bằng xảy ra khi $y=1;x=0$
Cách 2: Ta có: $A=\left| 1+\dfrac{5i}{z} \right|\le \left| 1 \right|+\left| \dfrac{5i}{z} \right|=1+\dfrac{5}{\left| z \right|}=6$
Khi $z=i\Rightarrow A=6$.
Lúc này ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -1\le y\le 1$
Ta có $A=\left| 1+\dfrac{5i}{z} \right|=\left| 1+\dfrac{5i}{x+yi} \right|$
$=\left| 1+\dfrac{5i\left( x-yi \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|=\left| 1+5ix-5y{{i}^{2}} \right|$
$=\left| 1+5y+5xi \right|$
$\Leftrightarrow {{A}^{2}}=25{{x}^{2}}+{{\left( 5y+1 \right)}^{2}}=25+10y+1\le 36$, (do $y\le 1$ )
Dấu bằng xảy ra khi $y=1;x=0$
Cách 2: Ta có: $A=\left| 1+\dfrac{5i}{z} \right|\le \left| 1 \right|+\left| \dfrac{5i}{z} \right|=1+\dfrac{5}{\left| z \right|}=6$
Khi $z=i\Rightarrow A=6$.
Đáp án C.