Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần...

Thay ${{\left| z \right|}^{2}}=1$ vào $P$ ta có : $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$ $=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+{{\left| z \right|}^{2}} \right|$
$=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+z.\overline{z} \right|$ $=\left| z+1 \right|+\left| z \right|\left| z+\overline{z}-1 \right|$ $=\left| z+1 \right|+\left| z+\overline{z}-1 \right|$.
Mặt khác ${{\left| z+1 \right|}^{2}}=\left( z+1 \right)\left( \overline{z}+1 \right)=2+z+\overline{z}$.
Đặt $t=z+\overline{z}$ do $\left| z \right|=1$ nên điều kiện $t\in \left[ -2;2 \right]$. Suy ra $P=\sqrt{t+2}+\left| t-1 \right|$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t+2}+\left| t-1 \right|$ với $t\in \left[ -2;2 \right]$
Đạo hàm: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+2}}+1$ với $t>1$. Suy ra ${f}'\left( t \right)>0$ với $t>1$.
Khi đó: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+2}}-1$ với $t<1$. Suy ra ${f}'\left( t \right)=0$ $\Leftrightarrow t=\dfrac{-7}{4}$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $M=\dfrac{13}{4}$ tại $t=\dfrac{-7}{4}$ và $m=\sqrt{3}$ tại $t=2$. Vậy $M.m=\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$.