Cho số phức $z$ thoả mãn $\left|z\right|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần...

Thay ${\left|z\right|}^2=1$ vào $P$ ta có : $P=|z+1|+|z^2-z+1|$ $=|z+1|+|z^2-z+{\left|z\right|}^2|$
$=|z+1|+|z^2-z+z.\bar{z}|$ $=|z+1|+\left|z\right||z+\bar{z}-1|$ $=|z+1|+|z+\bar{z}-1|$.
Mặt khác ${|z+1|}^2=(z+1)(\bar{z}+1)=2+z+\bar{z}$.
Đặt $t=z+\bar{z}$ do $\left|z\right|=1$ nên điều kiện $t\in [-2;2]$. Suy ra $P=\sqrt{t+2}+|t-1|$.
Xét hàm số $f\left(t\right)=\sqrt{t+2}+|t-1|$ với $t\in [-2;2]$
Đạo hàm: $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t+2}}}+1$ với $t>1$. Suy ra $f^{\prime }\left(t\right)>0$ với $t>1$.
Khi đó: $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t+2}}}-1$ với $t<1$. Suy ra $f^{\prime }\left(t\right)=0$ $\iff t={\displaystyle \frac{-7}{4}}$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $M={\displaystyle \frac{13}{4}}$ tại $t={\displaystyle \frac{-7}{4}}$ và $m=\sqrt{3}$ tại $t=2$. Vậy $M.m={\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{4}}$.