Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=1.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|.$ Tính giá trị $M.m.$
A. $\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$
B. $\dfrac{39}{4}$
C. $3\sqrt{3}$
D. $\dfrac{13}{4}$
A. $\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$
B. $\dfrac{39}{4}$
C. $3\sqrt{3}$
D. $\dfrac{13}{4}$
Gọi $z=x+yi;\left( x\in \mathbb{R};y\in \mathbb{R} \right).$ Ta có: $\left| z \right|=1\Leftrightarrow z.\overline{z}=1.$
Đặt $t=\left| z+1 \right|,$ ta có $0=\left| z \right|-1\le \left| z+1 \right|\le \left| z \right|+1=2\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$
Ta có ${{t}^{2}}=\left( 1+z \right)\left( 1+\overline{z} \right)=1+z.\overline{z}+z+\overline{z}=2+2x\Rightarrow x=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2}$
Suy ra $\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|=\left| {{z}^{2}}-z+z.\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| z-1+\overline{z} \right|=\sqrt{{{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{2}}}=\left| 2\text{x}-1 \right|=\left| {{t}^{2}}-3 \right|$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\left| {{t}^{2}}-3 \right|,t\in \left[ 0;2 \right]$
Dùng đạo hàm tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm $f\left( t \right),$ suy ra
$\max f\left( t \right)=\dfrac{13}{4}$ khi $t=\dfrac{1}{2};\min f\left( t \right)=\sqrt{3}$ khi $t=\sqrt{3}\Rightarrow M.n=\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$
Đặt $t=\left| z+1 \right|,$ ta có $0=\left| z \right|-1\le \left| z+1 \right|\le \left| z \right|+1=2\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$
Ta có ${{t}^{2}}=\left( 1+z \right)\left( 1+\overline{z} \right)=1+z.\overline{z}+z+\overline{z}=2+2x\Rightarrow x=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2}$
Suy ra $\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|=\left| {{z}^{2}}-z+z.\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| z-1+\overline{z} \right|=\sqrt{{{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{2}}}=\left| 2\text{x}-1 \right|=\left| {{t}^{2}}-3 \right|$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\left| {{t}^{2}}-3 \right|,t\in \left[ 0;2 \right]$
Dùng đạo hàm tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm $f\left( t \right),$ suy ra
$\max f\left( t \right)=\dfrac{13}{4}$ khi $t=\dfrac{1}{2};\min f\left( t \right)=\sqrt{3}$ khi $t=\sqrt{3}\Rightarrow M.n=\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$
Đáp án A.