Cho số phức z thỏa mãn $| z | = 1.$ Gọi M và m lần lượt...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

| z | = 1.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = | z + 1 | + | z^{2} - z + 1 | .

Tính giá trị

M . m .

A.

\frac{13 \sqrt{3}}{4}

B.

\frac{39}{4}

C.

3 \sqrt{3}

D.

\frac{13}{4}

Gọi

z = x + y i; (x \in R; y \in R) .

Ta có:

| z | = 1 \Leftrightarrow z . \overset{―}{z} = 1.

Đặt

t = | z + 1 |,

ta có

0 = | z | - 1 \leq | z + 1 | \leq | z | + 1 = 2 \Rightarrow t \in [0; 2]

Ta có

t^{2} = (1 + z) (1 + \overset{―}{z}) = 1 + z . \overset{―}{z} + z + \overset{―}{z} = 2 + 2 x \Rightarrow x = \frac{t^{2} - 2}{2}

Suy ra

| z^{2} - z + 1 | = | z^{2} - z + z . \overset{―}{z} | = | z | | z - 1 + \overset{―}{z} | = \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}} = | 2 x - 1 | = | t^{2} - 3 |

Xét hàm số

f (t) = t + | t^{2} - 3 |, t \in [0; 2]

Dùng đạo hàm tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

f (t),

suy ra

max f (t) = \frac{13}{4}

khi

t = \frac{1}{2}; min f (t) = \sqrt{3}

khi

t = \sqrt{3} \Rightarrow M . n = \frac{13 \sqrt{3}}{4}

Đáp án A.

Cho số phức z thỏa mãn |z|=1. Gọi M và m lần lượt...