Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=1.$ Biết biểu thức...

Phương pháp:
- Chứng minh $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$
- Sử dụng $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|,$ rút gọn biểu thức $P.$
- Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ thay vào và đưa biểu thức $P$ về dạng chỉ còn biến $x.$
- Lập BBT của P và tìm GTLN của biểu thức.
Cách giải:
Ta có: $z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}=1\Rightarrow \dfrac{1}{z}=\overline{z}.$
Khi đó ta có:
$P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|$
$P=\left| z \right|\left| z-1 \right|+\left| z \right|\left| z+1+\dfrac{1}{z} \right|$
$P=\left| z-1 \right|+\left| z+1+\overline{z} \right|$
Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ khi đó ta có:
$P=\left| z-1 \right|+\left| z+1+\overline{z} \right|$
$P=\left| z+yi-1 \right|+\left| x+yi+1+x-yi \right|$
$P=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}$
$P=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}+\left| 2x+1 \right|$
Mà $\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& P=\sqrt{2-2x}+\left| 2x+1 \right| \\
& {{x}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -1\le x\le 1 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow P=\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{2-2x}+2x+1khi-\dfrac{1}{2}\le x\le 1 \\
& \sqrt{2-2x}-2x-1khi-1\le x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
+ TH1: $-\dfrac{1}{2}\le x\le 1$ ta có: $P=\sqrt{2-2x}+2x+1\Rightarrow P'=\dfrac{-1}{\sqrt{2-2x}}+2=\dfrac{2\sqrt{2-2x}-1}{\sqrt{2-2x}}.$
Cho $P'=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-2x}=1\Leftrightarrow 2-2x=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8}\left( tm \right).$
+ TH2: $-1\le x<\dfrac{1}{2}$ ta có: $\sqrt{2-2x}-2x-1\Rightarrow P'=\dfrac{-1}{\sqrt{2-2x}}-2<0\forall x\in \left[ -1;\dfrac{1}{2} \right).$
Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại $x=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy ${{P}_{max}}=\dfrac{13}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8}=\dfrac{a}{b}.$
Vậy $a+b=7+8=15.$