Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|+\left|...

Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có : $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|={{\left| \overline{z} \right|}^{2}}\Leftrightarrow \left| 2x \right|+\left| 2yi \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \left| 2x \right|+\left| i \right|\left| 2y \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \left| 2x \right|+\left| 2y \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2 \\
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2 \\
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Như vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là bốn đường tròn có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right), {{I}_{2}}\left( -1;-1 \right);{{I}_{3}}\left( 1;-1 \right);{{I}_{4}}\left( -1;1 \right)$ và đều có bán kính $R=\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)
Đặt $A\left( 6;2 \right)$. Khi đó $P=\left| \overline{z}-6+2i \right|=MA$
Vì M chạy trên 4 đường tròn nên dễ dàng thấy được:
$M{{A}_{\max }}\Leftrightarrow MA=A{{I}_{2}}+R=\sqrt{58}+\sqrt{2}$
Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{58}+\sqrt{2}$, đạt được khi $M\equiv {{M}_{1}}$