Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|\le 4$ và $\left| z-\overline{z} \right|\le 4$. Gọi T, t lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-4i \right|.$ Giá trị của $T+t$ bằng?
A. $\sqrt{10}+1.$
B. $2\sqrt{10}+2.$
C. $\sqrt{10}+2.$
D. $2\sqrt{5}+2.$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z và $N\left( 0;4 \right).$
Khi đó $P=\left| z-4i \right|=MN.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z+\overline{z} \right|\le 4 \\
& \left| z-\overline{z} \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2x \right|\le 4 \\
& \left| 2yi \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x \right|\le 2 \\
& \left| y \right|\le 2. \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một hình vuông ABCD có cạnh bằng 4.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
$M{{N}_{\max }}\Leftrightarrow MN=AN=2\sqrt{10},M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=IN=2.$
Vậy $T+t=2\sqrt{10}+2.$
A. $\sqrt{10}+1.$
B. $2\sqrt{10}+2.$
C. $\sqrt{10}+2.$
D. $2\sqrt{5}+2.$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z và $N\left( 0;4 \right).$
Khi đó $P=\left| z-4i \right|=MN.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z+\overline{z} \right|\le 4 \\
& \left| z-\overline{z} \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2x \right|\le 4 \\
& \left| 2yi \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x \right|\le 2 \\
& \left| y \right|\le 2. \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một hình vuông ABCD có cạnh bằng 4.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
$M{{N}_{\max }}\Leftrightarrow MN=AN=2\sqrt{10},M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=IN=2.$
Vậy $T+t=2\sqrt{10}+2.$
Đáp án B.