T

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|\le 2$ và...

Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|\le 2$ và $\left| z-\overline{z} \right|\le 2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $T=\left| z-2i \right|$. Tổng $M+m$ bằng
A. $1+\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{2}+\sqrt{10}$.
C. 4.
D. 1.
Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z+\overline{z} \right|\le 2 \\
& \left| z-\overline{z} \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x+yi+x-yi \right|\le 2 \\
& \left| x+yi-x+yi \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x \right|\le 1 \\
& \left| y \right|\le 1 \\
\end{aligned} \right.$
Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là hình vuông $ABCD$ với $A\left( 1;1 \right),B\left( -1;1 \right),C\left( -1;-1 \right),D\left( 1;-1 \right)$
Khi đó $T=ME$ với $E\left( 0;2 \right)$. Dựa vào hình vẽ, ta được $\left\{ \begin{aligned}
& M{{E}_{\min }}=EN \\
& M{{E}_{\max }}=EC=ED \\
\end{aligned} \right.$
Với $N$ là trung điểm của $AB$. Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& M={{T}_{\max }}=\sqrt{10} \\
& m={{T}_{\min }}=11 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+n=1+\sqrt{10}$.
Đáp án A.
 

Quảng cáo

Back
Top