Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\overline{z}+2 \right|+2\left|...

Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ và $K\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Theo bài ra ta có: $\left| z+\overline{z}+2 \right|+2\left| z-\overline{z}-2i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| 2x+2 \right|+2\left| yi-2i \right|\le 12$
$\Leftrightarrow 2\left| x+1 \right|+4\left| \left( y-1 \right)i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| x+1 \right|+2\left| y-1 \right|\le 6\left( 1 \right)$
Tập hợp các điểm K thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với $A\left( -7;1 \right)$, $B\left( -1;-2 \right)$, $C\left( 5;1 \right)$, $D\left( -1;4 \right)$ như hình vẽ sau:
Gọi $I\left( 4;4 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $4+4i$, khi đó ta có $P=\left| z-4-4i \right|=KI$.
Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên CD, với CD là đường thẳng có phương trình $x+2y-7=0$.
Khi đó ta có $MI=d\left( I;CD \right)=\sqrt{5}\Rightarrow {{P}_{\min }}=\sqrt{5}=m$.
Tiếp tục ta thấy KI đạt GTLN khi $K\equiv A$ khi đó ${{P}_{\max }}=IA=\sqrt{130}=M$.
Vậy $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{130}$.