Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z}+2 \right|+2\left| z-\overline{z}-2i \right|\le 12.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-4-4i \right|.$ Tính $M+m.$
A. $\sqrt{5}+\sqrt{130}$
B. $5+\sqrt{61}$
C. $\sqrt{10}+\sqrt{130}$
D. $\sqrt{10}+\sqrt{61}$
A. $\sqrt{5}+\sqrt{130}$
B. $5+\sqrt{61}$
C. $\sqrt{10}+\sqrt{130}$
D. $\sqrt{10}+\sqrt{61}$
Cách giải:
Sưu tầm nhóm Toán VD - VDC
Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z.$
Theo bài ra ta có:
$\left| z+\overline{z}+2 \right|+2\left| z-\overline{z}-2i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| 2x+2 \right|+2\left| 2yi-2i \right|\le 12$
$\Leftrightarrow 2\left| x+1 \right|+4\left| \left( y-1 \right)i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| x+1 \right|+2\left| y-1 \right|\le 6\left( 1 \right)$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi $ABCD$ với $A\left( -7;1 \right),B\left( -1;-2 \right),$ $C\left( 5;1 \right),D\left( -1;4 \right)$ như hình vẽ sau:
Gọi $I\left( 4;4 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $4+4i,$ khi đó ta có $P=\left| z-4-4i \right|=MI.$
Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $CD,$ với $CD$ là đường thẳng có phương trình $x+2y-7=0.$
Khi đó ta có $MI=d\left( I;CD \right)=\sqrt{5}\Rightarrow {{P}_{\min }}=\sqrt{5}=m.$
Tiếp tục ta thấy $MI$ đạt GTLN khi $M\equiv A,$ khi đó ${{P}_{\max }}=IA=\sqrt{130}=M.$
Vậy $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{130}.$
Sưu tầm nhóm Toán VD - VDC
Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z.$
Theo bài ra ta có:
$\left| z+\overline{z}+2 \right|+2\left| z-\overline{z}-2i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| 2x+2 \right|+2\left| 2yi-2i \right|\le 12$
$\Leftrightarrow 2\left| x+1 \right|+4\left| \left( y-1 \right)i \right|\le 12\Leftrightarrow \left| x+1 \right|+2\left| y-1 \right|\le 6\left( 1 \right)$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi $ABCD$ với $A\left( -7;1 \right),B\left( -1;-2 \right),$ $C\left( 5;1 \right),D\left( -1;4 \right)$ như hình vẽ sau:
Gọi $I\left( 4;4 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $4+4i,$ khi đó ta có $P=\left| z-4-4i \right|=MI.$
Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $CD,$ với $CD$ là đường thẳng có phương trình $x+2y-7=0.$
Khi đó ta có $MI=d\left( I;CD \right)=\sqrt{5}\Rightarrow {{P}_{\min }}=\sqrt{5}=m.$
Tiếp tục ta thấy $MI$ đạt GTLN khi $M\equiv A,$ khi đó ${{P}_{\max }}=IA=\sqrt{130}=M.$
Vậy $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{130}.$
Đáp án A.