Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+i+1 \right|=\left| \overline{z}-2i \right|.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|.$
A. $-\dfrac{1}{2}.$
B. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta được: $\left| \left( x+1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| x-\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x+1+2y+1=4y+4\Leftrightarrow x-y-1=0.$
Do đó tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng $x-y-1=0.$
Từ hình vẽ ta thấy $\left| z \right|$ đạt GTNN khi $\left| z \right|=OH=d\left( O;\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| 0-0-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A. $-\dfrac{1}{2}.$
B. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta được: $\left| \left( x+1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| x-\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x+1+2y+1=4y+4\Leftrightarrow x-y-1=0.$
Do đó tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng $x-y-1=0.$
Từ hình vẽ ta thấy $\left| z \right|$ đạt GTNN khi $\left| z \right|=OH=d\left( O;\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| 0-0-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Đáp án D.