Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+i+1 \right|=\left|...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

| z + i + 1 | = | \overset{―}{z} - 2 i | .

Tìm giá trị nhỏ nhất của

| z | .

A.

- \frac{1}{2} .

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{1}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Đặt

z = x + y i (x, y \in R)

.
Ta được:

| (x + 1) + (y + 1) i | = | x - (y + 2) i |

\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2}

\Leftrightarrow 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4 y + 4 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0.

Do đó tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng

x - y - 1 = 0.

Từ hình vẽ ta thấy

| z |

đạt GTNN khi

| z | = O H = d (O; (Δ)) = \frac{| 0 - 0 - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Đáp án D.