Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\bar{z} \right|+2\left| z-\bar{z} \right|=8$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-3-3i \right|$. Tính $M+m$.
A. $\sqrt{10}+\sqrt{34}$.
B. $2\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{10}+\sqrt{58}$.
D. $\sqrt{5}+\sqrt{58}$.
A. $\sqrt{10}+\sqrt{34}$.
B. $2\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{10}+\sqrt{58}$.
D. $\sqrt{5}+\sqrt{58}$.
Gọi $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$, ta có $\left| z+\bar{z} \right|+2\left| z-\bar{z} \right|=8\Leftrightarrow \left| x \right|+2\left| y \right|=4\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x \right|\le 4 \\
\left| y \right|\le 2 \\
\end{matrix} \right. $, tập hợp $ K\left( x;y \right) $ biểu diễn số phức $ z $ thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi $ ABCD$ như hình vẽ.
$P=\left| z-3-3i \right|$ đạt giá trị lớn nhất khi $KM$ lớn nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ lớn nhất khi $K\equiv D$ hay $K\left( -4;0 \right)$ suy ra $M=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$
$P=\left| z-3-3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $KM$ nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ nhỏ nhất khi $K\equiv F$ ( $F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$ ).
Suy ra $F\left( 2;1 \right)$ do $AE=AB$ nên $F$ là trung điểm của $AB$.
Suy ra $m=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Vậy $M+m=\sqrt{58}+\sqrt{5}$
.
\left| x \right|\le 4 \\
\left| y \right|\le 2 \\
\end{matrix} \right. $, tập hợp $ K\left( x;y \right) $ biểu diễn số phức $ z $ thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi $ ABCD$ như hình vẽ.
$P=\left| z-3-3i \right|$ đạt giá trị lớn nhất khi $KM$ lớn nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ lớn nhất khi $K\equiv D$ hay $K\left( -4;0 \right)$ suy ra $M=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$
$P=\left| z-3-3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $KM$ nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ nhỏ nhất khi $K\equiv F$ ( $F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$ ).
Suy ra $F\left( 2;1 \right)$ do $AE=AB$ nên $F$ là trung điểm của $AB$.
Suy ra $m=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Vậy $M+m=\sqrt{58}+\sqrt{5}$
Đáp án D.