Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\bar{z} \right|+2\left|...

Gọi $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$, ta có $|z+\overline{z}|+2|z-\overline{z}|=8\iff \left|x\right|+2\left|y\right|=4\Rightarrow \{\begin{array}{c}\left|x\right|\le 4\\ \left|y\right|\le 2\end{array}$, tập hợp $K(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi $ABCD$ như hình vẽ.
$P=|z-3-3i|$ đạt giá trị lớn nhất khi $KM$ lớn nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ lớn nhất khi $K\equiv D$ hay $K(-4;0)$ suy ra $M=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$
$P=|z-3-3i|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $KM$ nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có $KM$ nhỏ nhất khi $K\equiv F$ ( $F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$ ).
Suy ra $F(2;1)$ do $AE=AB$ nên $F$ là trung điểm của $AB$.
Suy ra $m=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Vậy $M+m=\sqrt{58}+\sqrt{5}$
.