Cho số phức z thoả mãn $| z - 8 | + | z + 8 | = 20.$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z thoả mãn

| z - 8 | + | z + 8 | = 20.

Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

| z | .

Tính P = m + n.
A. P = 16.
B. P =

10 \sqrt{2} .

C. P = 17.
D. P =

5 \sqrt{10} .

Gọi

z = x + y i (x, y \in R)

và

M (x, y)

là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm

F_{1} (- 8; 0), F_{2} (8; 0) .

Ta có:

M F_{1} = \sqrt{{(- 8 - x)}^{2} + {(- y)}^{2}} = \sqrt{{(x + 8)}^{2} + y^{2}} = | z + 8 | .

M F_{2} = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + {(- y)}^{2}} = \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}} = | z - 8 | .

\Rightarrow | z - 8 | + | z + 8 | = 20 \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 8)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}} = 20 \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 20.

Do

M F_{1} + M F_{2} \geq F_{1} F_{2} \Rightarrow

Tập hợp điểm M là một elip có dạng

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

\Rightarrow {\begin{aligned} 2 a = 20 \\ c = 8 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a^{2} = 100 \\ b^{2} = a^{2} - c^{2} = 36 \end{aligned} \Rightarrow \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1 \Rightarrow {\begin{aligned} max | z | = 10 \\ min | z | = 6 \end{aligned} \Rightarrow m + n = 16.

Đáp án A.

Cho số phức z thoả mãn |z−8|+|z+8|=20....