Cho số phức z thoả mãn $\left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20.$...

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và $M\left( x,y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm ${{F}_{1}}\left( -8;0 \right),{{F}_{2}}\left( 8;0 \right).$
Ta có: $M{{F}_{1}}=\sqrt{{{\left( -8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z+8 \right|.$
$M{{F}_{2}}=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z-8 \right|.$
$\Rightarrow \left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20.$
Do $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}\ge {{F}_{1}}{{F}_{2}}\Rightarrow $ Tập hợp điểm M là một elip có dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=20 \\
& c=8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=100 \\
& {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=36 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \max \left| z \right|=10 \\
& \min \left| z \right|=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+n=16.$