Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-4+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|\ge 4$ và số phức $\text{w}=\left( z-2i \right)\left( \overline{z}i+2-4i \right)$ có phần ảo là số thực không dương. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình phẳng $\left( H \right)$ là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z. Diện tích hình $\left( H \right)$ gần nhất với số nào sau đây?
A. 7
B. 17
C. 21
D. 193
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+iy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \right)$
Ta có: $\left| z-4+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|\ge 4\Leftrightarrow \left| 2\text{x}-4 \right|+\left| 2y \right|\ge 4\Leftrightarrow \left| x-2 \right|+\left| y \right|\ge 2$
* $\text{w}=\left( z-2i \right)\left( \overline{z}i+2-4i \right)=\left( x+\left( y-2 \right)i \right)\left( \left( x-yi \right)i+2-4i \right)$
$\left( x+\left( y-2 \right)i \right)\left( y+2+\left( x-4 \right)i \right)=x\left( y+2 \right)-\left( x-4 \right)\left( y-2 \right)+\left[ x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4 \right]i$
Theo giả thiết, ta có: $x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4\text{x}-4\le 0$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| x-2 \right|+\left| y \right|\ge 2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4\text{x}-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.$ có miền là hình vẽ dưới đây:
Hình phẳng $\left( H \right)$ là phần không gian nằm bên ngoài hình vuông cạnh bằng 2 và nằm bên trong hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
Diện tích hình $\left( H \right)$ là $S=\pi {{R}^{2}}-{{2}^{2}}=\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-4=8\pi -4\simeq 21,13$.
A. 7
B. 17
C. 21
D. 193
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+iy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \right)$
Ta có: $\left| z-4+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|\ge 4\Leftrightarrow \left| 2\text{x}-4 \right|+\left| 2y \right|\ge 4\Leftrightarrow \left| x-2 \right|+\left| y \right|\ge 2$
* $\text{w}=\left( z-2i \right)\left( \overline{z}i+2-4i \right)=\left( x+\left( y-2 \right)i \right)\left( \left( x-yi \right)i+2-4i \right)$
$\left( x+\left( y-2 \right)i \right)\left( y+2+\left( x-4 \right)i \right)=x\left( y+2 \right)-\left( x-4 \right)\left( y-2 \right)+\left[ x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4 \right]i$
Theo giả thiết, ta có: $x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4\text{x}-4\le 0$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| x-2 \right|+\left| y \right|\ge 2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4\text{x}-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.$ có miền là hình vẽ dưới đây:
Hình phẳng $\left( H \right)$ là phần không gian nằm bên ngoài hình vuông cạnh bằng 2 và nằm bên trong hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
Diện tích hình $\left( H \right)$ là $S=\pi {{R}^{2}}-{{2}^{2}}=\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-4=8\pi -4\simeq 21,13$.
Đáp án C.