Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z+3-i \right)\left( \bar{z}+1+3i \right)$ là một số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng:
A. $4\sqrt{2}$.
B. 0.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
A. $4\sqrt{2}$.
B. 0.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
Đặt: $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó ta có: $\left( z+3-i \right)\left( \bar{z}+1+3i \right)=\left[ \left( x+3 \right)+\left( y-1 \right)i \right]\left[ \left( x+1 \right)-\left( y-3 \right)i \right]$
$=\left[ \left( x+1 \right)\left( x+3 \right)+\left( y-1 \right)\left( y-3 \right) \right]+\left[ -\left( x+3 \right)\left( y-3 \right)+\left( x+1 \right)\left( y-1 \right) \right]i$ là số thực hay phần ảo bằng 0, tức là: $-\left( x+3 \right)\left( y-3 \right)+\left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-2y+8=0$
$\Leftrightarrow x-y+4=0$
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường thẳng: $\left( \Delta \right)$ : $x-y+4=0$
Suy ra, $d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}$
Khi đó ta có: $\left( z+3-i \right)\left( \bar{z}+1+3i \right)=\left[ \left( x+3 \right)+\left( y-1 \right)i \right]\left[ \left( x+1 \right)-\left( y-3 \right)i \right]$
$=\left[ \left( x+1 \right)\left( x+3 \right)+\left( y-1 \right)\left( y-3 \right) \right]+\left[ -\left( x+3 \right)\left( y-3 \right)+\left( x+1 \right)\left( y-1 \right) \right]i$ là số thực hay phần ảo bằng 0, tức là: $-\left( x+3 \right)\left( y-3 \right)+\left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-2y+8=0$
$\Leftrightarrow x-y+4=0$
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường thẳng: $\left( \Delta \right)$ : $x-y+4=0$
Suy ra, $d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}$
Đáp án C.