Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.$ Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}.$ Tính môđun của số phức $w=M+mi.$
A. $\left| w \right|=\sqrt{2315}.$
B. $\left| w \right|=\sqrt{1258}.$
C. $\left| w \right|=3\sqrt{137}.$
D. $\left| w \right|=2\sqrt{309}.$
A. $\left| w \right|=\sqrt{2315}.$
B. $\left| w \right|=\sqrt{1258}.$
C. $\left| w \right|=3\sqrt{137}.$
D. $\left| w \right|=2\sqrt{309}.$
Đặt $z=x+yi.$ Ta có $P={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-\left[ {{x}^{2}}+\left( y-1 \right){}^{2} \right]=4x+2y+3.$
Mặt khác $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5.$
Đặt $x=3+\sqrt{5}\operatorname{sint},y=4+\sqrt{5}cost$
Suy ra $P=4\sqrt{5}\operatorname{sint}+2\sqrt{5}cost+23.$
Ta có $-10\le 4\sqrt{5}\operatorname{sint}+2\sqrt{5}cost\le 10.$
Do đó $13\le P\le 33\Rightarrow M=33,m=13\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{33}^{3}}+{{13}^{2}}}=\sqrt{1258}.$
Mặt khác $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5.$
Đặt $x=3+\sqrt{5}\operatorname{sint},y=4+\sqrt{5}cost$
Suy ra $P=4\sqrt{5}\operatorname{sint}+2\sqrt{5}cost+23.$
Ta có $-10\le 4\sqrt{5}\operatorname{sint}+2\sqrt{5}cost\le 10.$
Do đó $13\le P\le 33\Rightarrow M=33,m=13\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{33}^{3}}+{{13}^{2}}}=\sqrt{1258}.$
Đáp án B.