Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.$ Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}.$ Tính mô-đun của số phức $\text{w}=M+mi.$
A. $\left| \text{w} \right|=\sqrt{1258}$
B. $\left| \text{w} \right|=3\sqrt{137}.$
C. $\left| \text{w} \right|=2\sqrt{314}.$
D. $\left| \text{w} \right|=2\sqrt{309}$.
A. $\left| \text{w} \right|=\sqrt{1258}$
B. $\left| \text{w} \right|=3\sqrt{137}.$
C. $\left| \text{w} \right|=2\sqrt{314}.$
D. $\left| \text{w} \right|=2\sqrt{309}$.
Giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Theo đề bài ta có $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5\left( 1 \right).$
Mặt khác $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=4a+2b+3\text{ }\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $20{{a}^{2}}+\left( 64-8P \right)a+{{P}^{2}}-22P+137=0\left( * \right).$
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm khi $\Delta '=-4{{P}^{2}}+184P+-1716\ge 0\Leftrightarrow 13\le P\le 33\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{1258}.$
Theo đề bài ta có $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5\left( 1 \right).$
Mặt khác $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=4a+2b+3\text{ }\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $20{{a}^{2}}+\left( 64-8P \right)a+{{P}^{2}}-22P+137=0\left( * \right).$
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm khi $\Delta '=-4{{P}^{2}}+184P+-1716\ge 0\Leftrightarrow 13\le P\le 33\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{1258}.$
Đáp án A.