Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\sqrt{5}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ :
A. $2\sqrt{5}$.
B. $2+\sqrt{5}$.
C. $3\sqrt{5}$.
D. $4+\sqrt{5}$.
A. $2\sqrt{5}$.
B. $2+\sqrt{5}$.
C. $3\sqrt{5}$.
D. $4+\sqrt{5}$.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, ta có $\left| z-2i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| x+\left( y-2 \right)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5$.
Khi đó $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{4y+1}$. Mặt khác
${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}=5-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow y\le 2+\sqrt{5}$.
Suy ra $\left| z \right|=\sqrt{4y+1}\le \sqrt{4.\left( 2+\sqrt{5} \right)+1}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}$. Vậy ${{\left| z \right|}_{\max }}=2+\sqrt{5}$.
Khi đó $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{4y+1}$. Mặt khác
${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}=5-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow y\le 2+\sqrt{5}$.
Suy ra $\left| z \right|=\sqrt{4y+1}\le \sqrt{4.\left( 2+\sqrt{5} \right)+1}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}$. Vậy ${{\left| z \right|}_{\max }}=2+\sqrt{5}$.
Đáp án B.