Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2i \right|={{m}^{2}}+4m+6$, với $m$ là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=\left( 4-3i \right)z+2i$ là đường tròn. Bán kính của đường tròn đó có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $\sqrt{10}.$
B. $2.$
C. $10.$
D. $\sqrt{2}.$
A. $\sqrt{10}.$
B. $2.$
C. $10.$
D. $\sqrt{2}.$
Ta có : $w=\left( 4-3i \right)z+2i=\left( 4-3i \right)\left( z-2i \right)+6+10i$ $\Leftrightarrow w-\left( 6+10i \right)=\left( 4-3i \right)\left( z-2i \right)$.
Khi đó $\left| w-\left( 6+10i \right) \right|=\left| 4-3i \right|\left| z-2i \right|\Leftrightarrow \left| w-\left( 6+10i \right) \right|=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính
$R=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)$. Ta có: $R=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)=5{{\left( m+2 \right)}^{2}}+10\ge 10\forall \text{m}$.
Vậy bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 10.
Khi đó $\left| w-\left( 6+10i \right) \right|=\left| 4-3i \right|\left| z-2i \right|\Leftrightarrow \left| w-\left( 6+10i \right) \right|=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính
$R=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)$. Ta có: $R=5\left( {{m}^{2}}+4m+6 \right)=5{{\left( m+2 \right)}^{2}}+10\ge 10\forall \text{m}$.
Vậy bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 10.
Đáp án C.