Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2i \right|\le \left| z-4i...

Đặt $w=z-2\Rightarrow z=w+2$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right| \\
& \left| z-3-3i \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w+2-2i \right|\le \left| w+2-4i \right| \\
& \left| w-1-3i \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta được hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \left| x+2+\left( y-2 \right)i \right|\le \left| x+2+\left( y-4 \right)i \right| \\
& \left| x-1+\left( y-3 \right)i \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\le 3 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $w$ thì tập hợp $M$ là nửa đường tròn tâm $I\left( 1;3 \right)$ bán kính bằng 1 như hình vẽ.
$P=\left| w \right|=OM$. $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $OM$ lớn nhất.
Dựa vào hình vẽ ta suy ra $OM$ lớn nhất khi $M\left( 2;3 \right)$.
Vậy ${{P}_{\min }}=\sqrt{13}$.