Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z-2-i \right)\left( \overline{z}-2-i \right)=25$. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $w=2\overline{z}-2+3i$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính c. Giá trị của $a+b+c$ bằng:
A. 20.
B. 17.
C. 18.
D. 10.
A. 20.
B. 17.
C. 18.
D. 10.
Gọi $w=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Điểm biểu diễn số phức w trong mặt phẳng tức là điểm $M\left( x;y \right)$.
Ta có: $w=2\overline{z}-2+3i\Rightarrow 2\overline{z}=w+2-3i\Rightarrow 2z=\overline{w}+2+3i$
$\left( z-2+i \right)\left( \overline{z}-2-i \right)=25$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 2z-4+2i \right)\left( 2\overline{z}-4-2i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left( \overline{w}+2+3i-4+2i \right)\left( w+2-3i-4-2i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left( \overline{w}-2+5i \right)\left( w-2-5i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left[ \left( x-2 \right)-\left( y-5 \right)i \right]\left[ \left( x-2 \right)+\left( y-5 \right)i \right]=100 \\
& \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=100 \\
\end{aligned}$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn M là đường tròn tâm $I\left( 2;5 \right)$ và bán kính $R=10\Rightarrow a+b+c=17$.
Điểm biểu diễn số phức w trong mặt phẳng tức là điểm $M\left( x;y \right)$.
Ta có: $w=2\overline{z}-2+3i\Rightarrow 2\overline{z}=w+2-3i\Rightarrow 2z=\overline{w}+2+3i$
$\left( z-2+i \right)\left( \overline{z}-2-i \right)=25$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 2z-4+2i \right)\left( 2\overline{z}-4-2i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left( \overline{w}+2+3i-4+2i \right)\left( w+2-3i-4-2i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left( \overline{w}-2+5i \right)\left( w-2-5i \right)=100 \\
& \Leftrightarrow \left[ \left( x-2 \right)-\left( y-5 \right)i \right]\left[ \left( x-2 \right)+\left( y-5 \right)i \right]=100 \\
& \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=100 \\
\end{aligned}$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn M là đường tròn tâm $I\left( 2;5 \right)$ và bán kính $R=10\Rightarrow a+b+c=17$.
Đáp án B.