Cho số phức z thỏa mãn $\left( z-2+i \right)\left(...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

(z - 2 + i) (\overset{―}{z} - 2 - i) = 25

. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

w = 2 \overset{―}{z} - 2 + 3 i

là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính c. Giá trị của a.b.c bằng
A. 17.
B. -17.
C. 100.
D. -100.

Giả sử

z = a + b i (a; b \in R)

và

w = x + y i (x; y \in R)

(z - 2 + i) (\overset{―}{z} - 2 - i) = 25 \Leftrightarrow [a - 2 + (b + 1) i] [a - 2 - (b + 1) i] = 25

\Leftrightarrow {(a - 2)}^{2} + {(b + 1)}^{2} = 25 (1)

Theo giả thiết

w = 2 \overset{―}{z} - 2 + 3 i \Leftrightarrow x + y i = 2 (a - b i) - 2 + 3 i \Leftrightarrow x + y i = 2 a - 2 + (3 - 2 b) i

\Rightarrow {\begin{aligned} x = 2 a - 2 \\ y = 3 - 2 b \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = \frac{x + 2}{2} \\ b = \frac{3 - y}{2} \end{aligned} (2) .

Thay (2) vào (1) ta được

{(\frac{x + 2}{2} - 2)}^{2} + {(\frac{3 - y}{2} + 1)}^{2} = 25 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 100

.
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I (2; 5) và bán kính R = 10.
Vậy a.b.c = 100.

Đáp án C.