Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z-2+i \right)\left( \overline{z}-2-i \right)=25$. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $\text{w}=2\overline{z}-2+3i$ là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính c. Giá trị của a.b.c bằng
A. 17.
B. -17.
C. 100.
D. -100.
A. 17.
B. -17.
C. 100.
D. -100.
Giả sử $z=a+bi(a;b\in \mathbb{R})$ và $w=x+yi(x;y\in \mathbb{R})$
$(z-2+i)(\overline{z}-2-i)=25\Leftrightarrow [a-2+(b+1)i][a-2-(b+1)i]=25$
$\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}=25(1)$
Theo giả thiết $w=2\overline{z}-2+3i\Leftrightarrow x+yi=2(a-bi)-2+3i\Leftrightarrow x+yi=2a-2+(3-2b)i$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a-2 \\
& y=3-2b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{x+2}{2} \\
& b=\dfrac{3-y}{2} \\
\end{aligned} \right.(2).$
Thay (2) vào (1) ta được
${{\left( \dfrac{x+2}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3-y}{2}+1 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}=100$.
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I (2; 5) và bán kính R = 10.
Vậy a.b.c = 100.
$(z-2+i)(\overline{z}-2-i)=25\Leftrightarrow [a-2+(b+1)i][a-2-(b+1)i]=25$
$\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}=25(1)$
Theo giả thiết $w=2\overline{z}-2+3i\Leftrightarrow x+yi=2(a-bi)-2+3i\Leftrightarrow x+yi=2a-2+(3-2b)i$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a-2 \\
& y=3-2b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{x+2}{2} \\
& b=\dfrac{3-y}{2} \\
\end{aligned} \right.(2).$
Thay (2) vào (1) ta được
${{\left( \dfrac{x+2}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3-y}{2}+1 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}=100$.
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I (2; 5) và bán kính R = 10.
Vậy a.b.c = 100.
Đáp án C.