Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2+i \right|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=3\left| z-2 \right|+4\left| z-2+2i \right|$.
A. $4\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $10$.
D. $5$.
A. $4\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $10$.
D. $5$.
Gọi $z=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Trong hệ trục $Oxy$, $z$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( x; y \right)$.
Theo đề ta có $\left| z-2+i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1 \left( 1 \right)$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và $R=1$. Vậy $M\in \left( C \right)$.
Theo đề ta có $T=3\left| z-2 \right|+4\left| z-2+2i \right|=3\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+4\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$.
Gọi $A\left( 2; 0 \right), B\left( 2;-2 \right)$. Khi đó $T=3\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+4\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=3\left| \overrightarrow{MA} \right|+4\left| \overrightarrow{MB} \right|=3MA+4MB$.
Mặc khác $A\left( 2; 0 \right), B\left( 2;-2 \right)\in \left( C \right)$ và $AB=2=2R$ vậy $AB$ là đường kính. Suy ra tam giác $MAB$ vuông tại M.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$T=3MA+4MB\le \sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{25.A{{B}^{2}}}=10$.
Vậy Giá trị lớn nhất của $T$ là 10
Theo đề ta có $\left| z-2+i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1 \left( 1 \right)$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và $R=1$. Vậy $M\in \left( C \right)$.
Theo đề ta có $T=3\left| z-2 \right|+4\left| z-2+2i \right|=3\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+4\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$.
Gọi $A\left( 2; 0 \right), B\left( 2;-2 \right)$. Khi đó $T=3\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+4\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=3\left| \overrightarrow{MA} \right|+4\left| \overrightarrow{MB} \right|=3MA+4MB$.
Mặc khác $A\left( 2; 0 \right), B\left( 2;-2 \right)\in \left( C \right)$ và $AB=2=2R$ vậy $AB$ là đường kính. Suy ra tam giác $MAB$ vuông tại M.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$T=3MA+4MB\le \sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{25.A{{B}^{2}}}=10$.
Vậy Giá trị lớn nhất của $T$ là 10
Đáp án C.