Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|$.
A. $2\sqrt{13}$.
B. $2\sqrt{46}$.
C. $2\sqrt{26}$.
D. $2\sqrt{23}$.
A. $2\sqrt{13}$.
B. $2\sqrt{46}$.
C. $2\sqrt{26}$.
D. $2\sqrt{23}$.
Gọi $z=x+yi, \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có, số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3$.
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}$ là một đường tròn có tâm $I\left( -1 ; 0 \right)$ và bán kính $r=\sqrt{3}$.
Gọi $M\left( x ; y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)$.
$\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|$
$=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}$, với ${{I}_{1}}\left( -4 ; 1 \right), {{I}_{2}}\left( 2 ; -1 \right)$.
Ta có, $\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3 ; 1 \right), \overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3 ; -1 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{I{{I}_{1}}}, \overrightarrow{I{{I}_{2}}}$ cùng phương và 3 điểm $I, {{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ thẳng hàng.
Ta lại có, $I$ là trung điểm của ${{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ và $\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r, \left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r$. Suy ra các điểm ${{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ nằm ngoài đường tròn $C\left( I,\sqrt{3} \right)$.
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm $M$.
Mặt khác: $M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\dfrac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26$, với $\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26}, \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6 ;-2 \right)$.
Ta có, $T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}$.
Vậy, giá trị lớn nhất của $T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|$ bằng $2\sqrt{13}$ khi và chỉ khi $M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}$ $\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ cân tại $M$.
Ta có, số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3$.
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}$ là một đường tròn có tâm $I\left( -1 ; 0 \right)$ và bán kính $r=\sqrt{3}$.
Gọi $M\left( x ; y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)$.
$\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|$
$=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}$, với ${{I}_{1}}\left( -4 ; 1 \right), {{I}_{2}}\left( 2 ; -1 \right)$.
Ta có, $\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3 ; 1 \right), \overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3 ; -1 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{I{{I}_{1}}}, \overrightarrow{I{{I}_{2}}}$ cùng phương và 3 điểm $I, {{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ thẳng hàng.
Ta lại có, $I$ là trung điểm của ${{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ và $\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r, \left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r$. Suy ra các điểm ${{I}_{1}}, {{I}_{2}}$ nằm ngoài đường tròn $C\left( I,\sqrt{3} \right)$.
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm $M$.
Mặt khác: $M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\dfrac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26$, với $\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26}, \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6 ;-2 \right)$.
Ta có, $T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}$.
Vậy, giá trị lớn nhất của $T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|$ bằng $2\sqrt{13}$ khi và chỉ khi $M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}$ $\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ cân tại $M$.
Đáp án A.