Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}$. Tìm giá...

+ Số phức $z=x+y i(x ; y \in R)$ có mô đun $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
+ Sử dụng BĐT Bunhiacốpxki với hai bộ số $(a ; b),(x ; y)$ ta có $(a x+b y)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)$
+ Dấu $''=''$ xảy ra khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{y}$.
Gọi số phức $z=x+yi (x;y\in R)$
Theo đề bài $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| x+1+yi \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=3$

Ta có $T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|=\left| x+4+(y-1)i \right|+\left| x-2+(y+1)i \right|$
$=\sqrt{{{(x+4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}$
Áp dụng BDT Bunhiacốpxki ta có:
$T^{2}=\left(\sqrt{(x+4)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}\right)^{2} \leq\left(1^{2}+1^{2}\right)\left[(x+4)^{2}+(y-1)^{2}+(x-2)^{2}+(y+1)^{2}\right]$
$T^{2} \leq 2\left(2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+22\right)=4\left((x+1)^{2}+y^{2}+10\right)=52$ (vì $\left.(x+1)^{2}+y^{2}=3\right)$
Do đó $T \leq 2 \sqrt{13}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{(x+4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}} \\
{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=3 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=3x+3 \\
{{(x+1)}^{2}}+{{(3x+3)}^{2}}=3 \\
\end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{\sqrt{10}} \\
& y=\dfrac{9}{\sqrt{10}}+3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-\dfrac{3}{\sqrt{10}} \\
y=-\dfrac{9}{\sqrt{10}}+3 \\
\end{array} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $T_{\max }=2 \sqrt{13}$.