Google
Câu hỏi: Cho số phức z thõa mãn $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| z+i \right|+\left| z+2-i \right|$.
A. $\max T=2$
B. $\max T=2\sqrt{5}$
C. $\max T=\sqrt{5}$
D. $\max T=2\sqrt{2}$
A. $\max T=2$
B. $\max T=2\sqrt{5}$
C. $\max T=\sqrt{5}$
D. $\max T=2\sqrt{2}$
Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có: $\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Khi đó $T=\left| z+1 \right|+\left| z+2-i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}$
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
${{T}^{2}}\le 2\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=2\left[ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a+1 \right)+4 \right]=20\Rightarrow T\le 2\sqrt{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+1=b \\
& {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-\sqrt{6}-2}{2} \\
& b=\dfrac{-\sqrt{6}}{2} \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2} \\
& b=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\max T=2\sqrt{5}$
Khi đó $T=\left| z+1 \right|+\left| z+2-i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}$
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
${{T}^{2}}\le 2\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=2\left[ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a+1 \right)+4 \right]=20\Rightarrow T\le 2\sqrt{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+1=b \\
& {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-\sqrt{6}-2}{2} \\
& b=\dfrac{-\sqrt{6}}{2} \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2} \\
& b=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\max T=2\sqrt{5}$
Đáp án B.