Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=\sqrt{3}.$ Biết giá...

Đặt $z=x+yi (x,y\in \mathbb{R})$, ta có
$\left| z-1 \right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow \left| x-1+yi \right|=\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x+2 (*)$.
Lại có: $P=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right| =\left| x+\left( y+1 \right)i \right|+\left| x-2+\left( y-1 \right)i \right|$ ​
$=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y+5}$
Kết hợp với $(*)$ ta được $P=\sqrt{2x+2y+2}+\sqrt{6-2x-2y}=\sqrt{2\left( x+y \right)+3}+\sqrt{7-2\left( x+y \right)}$
Đặt $t=x+y$ thì $P=f\left( t \right)=\sqrt{2t+3}+\sqrt{7-2t}$ với $t\in \left[ -\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2} \right]$.
Cách 1: ( Sử dụng phương pháp hàm số ).
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2t+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{7-2t}}$. Xét ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$.
Mà $f\left( 1 \right)=2\sqrt{5}; f\left( -\dfrac{3}{2} \right)=\sqrt{10} ; f\left( \dfrac{7}{2} \right)=\sqrt{10} .$
Vậy $\max f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=2\sqrt{5}$ xảy ra khi $t=1.$
Nên $a=2 ; b=5$ nên $a+b=7$.
Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 cặp số $\left( 1;1 \right)$ và $\left( \sqrt{2t+3} ;\sqrt{7-2t} \right)$
Ta có: $\sqrt{2t+3} +\sqrt{7-2t}\le \sqrt{\left( 1+1 \right).10}=2\sqrt{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $t=1.$