Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=\left| z-i \right|$. Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức ${\text{w}=2z+2-i}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$.
Giả sử $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$. Khi đó $\left| z-1 \right|=\left| z-i \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-1+bi \right|=\left| a+\left( b-1 \right)i \right|$.
$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow a-b=0$.
Khi đó ${\text{w}=2z+2-i}$ $=2\left( a+ai \right)+2-i=\left( 2a+2 \right)+i\left( a-1 \right)$.
$\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}+4a+5}\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow a-b=0$.
Khi đó ${\text{w}=2z+2-i}$ $=2\left( a+ai \right)+2-i=\left( 2a+2 \right)+i\left( a-1 \right)$.
$\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}+4a+5}\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.