Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i...

Gọi $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow ~\left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|+\left| \left( x-3 \right)+\left( y-2 \right)i \right|=\sqrt{5}$ $\left( 1 \right)$.
Trong mặt phẳng $Oxy$, đặt $A\left( 1;1 \right); B\left( 3;2 \right)$ ; $M\left( a;b \right)$.
$\Rightarrow $ Số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1 \right)$ là tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ trên mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ thỏa mãn $MA+MB=\sqrt{5}$.
Mặt khác $AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm $M$ là đoạn thẳng $AB$.
Ta có $\left| z+2i \right|=\left| a+\left( b+2 \right)i \right|$. Đặt $N\left( 0;-2 \right)$ thì $\left| z+2i \right|=MN$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên đường thẳng $AB$.
Phương trình $AB:x-2y+1=0$.
Ta có $H\left( -1;0 \right)$ nên hai điểm $A,B$ nằm cùng phía đối với $H$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AN=\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10} \\
& BN=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( 2+2 \right)}^{2}}}=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $AN\le MN\le BN=5$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| z+2i \right|$ bằng 5 đạt được khi $M\equiv B\left( 3;2 \right)$, tức là $z=3+2i$.