Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i...

HD: Gọi $M\left( z \right),A\left( 1;1 \right),B\left( 3;2 \right)$ suy ra giả thiết $\Leftrightarrow MA+MB=\sqrt{5}$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2;1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{5}\Rightarrow MA+MB=AB$
Do đó M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình: $x-2y+1=0$
Suy ra $M\left( 2t-1;t \right)$ với $2t-1\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow t\in \left[ 1;2 \right]$
Lại có $\left| z+2i \right|=\left| 2t-1+ti+2i \right|=\left| 2t-1+\left( t+2 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=5{{t}^{2}}+5$ trên $\left[ 1;2 \right]\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{min}} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=10 \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{max}} f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=25 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\min \left| z+2i \right|=\sqrt{10};\max \left| z+2i \right|=5\xrightarrow{{}}w=5+\sqrt{10}i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{35}$.