Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

| z - 1 - i | + | z - 3 - 2 i | = \sqrt{5} .

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

| z + 2 i | .

Tính modun của số phức

w = M + m i

A.

\sqrt{15}

B.

\sqrt{35}

C. 13
D.

3 \sqrt{5}

HD: Gọi

M (z), A (1; 1), B (3; 2)

suy ra giả thiết

\Leftrightarrow M A + M B = \sqrt{5}

Ta có

\vec{A B} = (2; 1) \Rightarrow A B = \sqrt{5} \Rightarrow M A + M B = A B

Do đó M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình:

x - 2 y + 1 = 0

Suy ra

M (2 t - 1; t)

với

2 t - 1 \in [1; 3] \Leftrightarrow t \in [1; 2]

Lại có

| z + 2 i | = | 2 t - 1 + t i + 2 i | = | 2 t - 1 + (t + 2) i | = \sqrt{{(2 t - 1)}^{2} + {(t + 2)}^{2}}

Xét hàm số

f (t) = 5 t^{2} + 5

trên

[1; 2] \overset{}{\to} {\begin{aligned} \underset{[1; 2]}{m i n} f (t) = f (1) = 10 \\ \underset{[1; 2]}{m a x} f (t) = f (2) = 25 \end{aligned}

Suy ra

min | z + 2 i | = \sqrt{10}; max | z + 2 i | = 5 \overset{}{\to} w = 5 + \sqrt{10} i \Rightarrow | w | = \sqrt{35}

.

Đáp án B.