Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i...

Gọi $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})$.
Khi đó $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}\iff |(x-1)+(y-1)i|+|(x-3)+(y-2)i|=\sqrt{5}\left(1\right)$.
Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A(1;1);B(3;2);M(a;b)$.
$\Rightarrow$ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm $M(a;b)$ trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $MA+MB=\sqrt{5}$.
Mặt khác $AB=\sqrt{{(3-1)}^2+{(2-1)}^2}=\sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.
Ta có $|z+2i|=|a+(b+2)i|$. Đặt $N(0;-2)$ thì $|z+2i|=MN$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB: $x-2y+1=0$.
Ta có $H(-1;0)$ nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.
Ta có $\{\begin{array}{rl}& AN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\\ & BN=\sqrt{3^2+{(2+2)}^2}=5\end{array}$.
Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $AN\le MN\le BN=5$.
Vậy giá trị lớn nhất của $|z+2i|$ bằng 5 đạt được khi $M\equiv B(3;2)$, tức là $z=3+2i$