Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1-i \right|=2$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của ${{\left| z+3+i \right|}^{2}}+{{\left| z-3+3i \right|}^{2}}$ có dạng $a+b\sqrt{10}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $a+b$.
A. 35.
B. 25.
C. 46.
D. 30.
A. 35.
B. 25.
C. 46.
D. 30.
Tập hợp các điểm M biểu diễn z là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;1 \right)$ và bán kính $R=2$.
Xét $A\left( -3;-1 \right),B\left( 3;-3 \right),H\left( 0;-2 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta có $P={{\left| z+3+i \right|}^{2}}+{{\left| z-3+3i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{H}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$ và $MH\ge \left| IH-IM \right|$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 6;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{10} \\
& \overrightarrow{IH}=\left( -1;-3 \right)\Rightarrow IH=\sqrt{10} \\
& IM=R=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\ge 38-8\sqrt{10}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow M\equiv {M}'\Rightarrow a+b=30$.
Xét $A\left( -3;-1 \right),B\left( 3;-3 \right),H\left( 0;-2 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta có $P={{\left| z+3+i \right|}^{2}}+{{\left| z-3+3i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{H}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$ và $MH\ge \left| IH-IM \right|$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 6;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{10} \\
& \overrightarrow{IH}=\left( -1;-3 \right)\Rightarrow IH=\sqrt{10} \\
& IM=R=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\ge 38-8\sqrt{10}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow M\equiv {M}'\Rightarrow a+b=30$.
Đáp án D.